几个重要的排列组合定理公式

1.排列的几个定理公式

<1>.排列，一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(Arrangement)。特别地，当m=n时，这个排列被称作全排列(Permutation)。

<2>.n个元素的循环r-排列的个数为上式除以r

循环，顾名思义，就是围成一圈，规定一个方向(顺或逆)，转一圈形成的为一种。如：若不围一圈，12345678，78123456等共八个均不一样，但围成一圈后就一样了，所以要除以r

注意：循环排列中，12345和54321不一样，因为按照一个规定的方向，他俩都无法通过旋转成为对方的排列形式

<3>.多重集：

令s为一个多重集，有k个不同类型的元素，各元素的重数为n1,n2,n3,......,nk。设s的大小为n=n1+n2+...+nk。则s的排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!)

<1> <2> 把每个个体看作是不同的，即使一样的数字，如排列1和1两个数，仍为1，1和1，1两种。但<3> 把重复的元素看作一个，如1和1的排列数有1，1一种

2.组合的几个定理公式

<1>.从m个不同元素中，任取n(n≤m)个元素并成一组，叫做从m个不同元素中取出n个元素的一个组合；从m个不同元素中取出n(n≤m)个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。

此处把重复的元素也看做不同的

<2>.Polya计数原理->用于染色问题

详见ACM p47页

例题选讲：以两个蓝桥杯题目为例

第一步：不考虑旋转和镜像，满足的共120种情况

第二步：考虑旋转，即利用1.<2>，除以5

第三步：考虑镜像，因为每个位置填的数均不同，所以不存在对称的填数方式，直接除以2

最后结果：12

此处转动即旋转，翻转即镜像

第一步：不考虑旋转和镜像，还有重复性，共12！种情况，即479001600

第二步：考虑重复性，除以3!*4!*5!，得27720

第三步：考虑旋转，除以12，得2310

第四步：考虑镜像，因为存在左右对称的排列，所以先找出来。将1个A，1个C两边都隔5个，剩下2个A，4个B，4个C，两边对称，即将ABBCC排列，共5！/（2*2）=30种，则最后结果：30+(2310-30)/2，为1170种

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