r矢量球坐标系旋度_球面,柱面坐标系下的散度与旋度
转载自:原文链接中英文版权所有
1. 斜面坐标
斜面坐标是一种三维的欧几里合坐标,空间中每一个点的局域坐标都可以被1对1的转化成简单的直角坐标,因此其任意一点处,局域的坐标基矢之间都是垂直的。斜面坐标系是法国数学家Láme 命名,因为在此坐标系下,各坐标独立移动形成的面是曲面。物理中最重要的三种斜面坐标分别是:直角坐标系,球面坐标系和柱面坐标系。他们分别应用于不同种类的对称性问题中,他们的解是不同对称性条件下的基。
在任意的斜面坐标系中,空间最基本的几何元素,线段元,都可以被如下表征:
上式中,x1,x2,x3就是局域定义的垂直基矢,而h1,h2,h3则是长度量纲系数。一个简单的例子是直角坐标下,基矢的选择就是位移长度本身,因此h1,h2,h3均为1。而如果在球面坐标下,除了径向位移r是长度本身以外,极角theta和方位角phi 本身并不是长度,而是角度。因此线段元系数h2, h3不是1, 而是弧长度系数 r 和 r*sin(theta)。
柱面坐标下的线段元表示留作练习。
2. 散度和旋度
2.1 散度
散度是一种被定义为测量矢量场某点领域里单位体积内场线出入的多少。如果场线净出,则该点存在源;如果场线净入,则存在漏(sink)。为了这样的度量目的,我们定义某点的散度为如上式,用第二类面积分来度量。
这里,da是带方向的,包围体积dV的面积元,方向和面积垂直,指向体积外侧,用于区别场线流动的方向和强度。
不难得出斜面坐标系下某点处体积元的表征。对于定义中的面积分,我们将其投影到三个坐标基方向中,对各个分量进行计算。相对面的场线净出入可以由上式得出。我们选择面为和x1-x2平行的一对。我们只要计算场F在x3上的投影,再乘以面面积(h1h2)dx1dx2,最后对其做对x3方向的偏微分再乘以h3dx3,就能知道前后两面的场流出入的差值了。正方向的定义已经包含在微分的减法符号之中。在计算过程中,我们注意h1,h2,h3这些长度量纲系数的引入,这些系数本身也是坐标的函数,因此对他们的微分要倍加小心。正是他们的存在使得斜面坐标系的散度表达式并不简单。
就用这个办法,我们不难得出散度在斜面坐标系下的一般表示。此外,再结合显而易见的梯度的定义,我们就能得到拉普拉斯算子在斜面坐标下的表示了。拉普拉斯算子在计算量子力学以及电磁场理论中都有重要应用:
作为一个例子,我们计算一下球面坐标下的拉普拉斯算子(得到结果如上)。其后的角度微分项在薛定锷方称中,代表转动角动能。
2.2 旋度
和散度一样,旋度也是一种被定义来度量矢量场的一种计算。旋度用来测量矢量在某点领域内的一个单位面积的边界上所做转的“圈数”。因此他用第二类线积分来衡量。其定义如上式。
为了确定三维空间中单位面积的朝向,我们需要给每一个面积元指定一个垂直于其表面的方向。而且,场在面积边界旋转的方向和面积朝向满足右手法则规定的正负关系。
我们把任意的面积按照朝向分解投影到基矢方向上,然后对每一个朝向做旋度计算。这个计算过程和散度十分相似,但需要注意,偏微分的符号有时候并不和规定的正方向一致,因此我们会需要引入一个符号。我们只需要小心核对右手定则就能得到正确的答案。将所有分量按照方向矢量相加,我们就得到了旋度的一般表达式。和散度一样,我们要注意h1, h2, h3这些量纲系数的微分和位置。
如果我们注意到表达式中正负号和levi-civita的关系,我们就能简化上面的旋度算式,让她变的更象一个叉乘:
这样一个旋度的表达式就写成了和叉乘一样的行列式的表达式了。这也是为什么旋度使用叉乘符号的一个原因。实际上散度使用点乘的原因也是如此。
最后,我们在球面坐标系下演练我们的旋度公式。注意表达式是相当复杂的。
本来,这篇日志打算复习一下比较重要的矢量微积分中的等式,例如bac-cab等式和函数乘法后的散度,旋度,以及散度积分的推广,旋度积分等。因为本人时间有限,留给大家去查阅jackson电动力学的前页。此外,本文有一些插图,时间和能力原因,也没有做成。希望读者能发挥想象,自己看懂。
2012年6月
Bo
r矢量球坐标系旋度_球面,柱面坐标系下的散度与旋度相关推荐
- 向量场的散度和旋度_矢量场问题一个矢量场的散度和旋度都为零,能 – 手机爱问...
2012-09-09 雷达极化方式为什么只有2种既然说极化的 雷达极化是指雷达发射的电波和接收的回波的极化状态,由于在传播过程中电波与媒质相互作用,电波与目标相互作用,使得波在传播过程中其极化状态发生 ...
- r矢量球坐标系旋度_矢量与场论 | 场论
场的概念 | 方向导数与梯度 | 通量与散度 | 环量与旋度 | 典型矢量场 | 哈密顿算子 场的概念 1.场:如果在全部空间或部分空间里的每一点,都对应着某个物理量的一个确定的值,即在这个空间里确定 ...
- r矢量球坐标系旋度_三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明
三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明 [摘要] 本文通过分析一个悖论的产生原因,叙述了在学习中对三个常用坐标系的单位矢量的一点认识:然后由旋度的定义出发,给出了一种不同于教材的矢量旋度表达式推演 ...
- matlab中应用surf函数画球形物体的三维坐标变换,从球坐标系转换到笛卡尔坐标系
在Matlab中采用surf函数画三维图时,该函数使用笛卡尔坐标系绘制图形,因此在某些球形图案的绘制中,直接使用(theta,phi,z)参数无法得到球形图案,需要将图案对应的点从球坐标转变为笛卡尔坐 ...
- android 球面 旋转 坐标系,天球坐标系和地球坐标系-GPS定位原理及应用-电子发烧友网站...
2.1.1天球坐标系 天球坐标系是利用基本星历表的数据把基本坐标系固定在天球上,星历表中列出一定数量的恒星在某历元的天体赤道坐标值,以及由于岁差和自转共同影响而产生的坐标变化.常用的天球坐标系:天球赤 ...
- 普遍意义下矢量的散度和旋度表达式以及它们的矩阵形式的推导
现有任意一个三维矢量A⃗\vec AA(高维矢量的情况类似): (1)A⃗=A1e^q1+A2e^q2+A3e^q3\vec A=A_1\hat e_{q_1}+A_2\hat e_{q_2}+A_3 ...
- 向量场的散度和旋度_矢量场的散度和旋度.ppt
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 第一课 第一课 第一课 课程性质 电磁场理论是高等学校理工科电子类或信息类专业必修的一门专业基础理论课,其任务是介绍宏观电磁场和电磁波的基本规律,基本 ...
- 工业机器人三点工具定位法图文_工业机器人工具坐标系(TCF)标定的六点法原理...
一.基本步骤 (1)在机器人动作范围内找一个非常精确的固定点作为参考点: (2)在工具上确定一个参考点(最好是工具中心点Tool Center Point, TCP); (3)手动操纵机器人的方法移动 ...
- 中计算散度的函数_梯度、散度、旋度
一.麦克斯韦基于四元数观点导出散度与旋度 已知的最早的关于散度和旋度的描述都来自麦克斯韦1873年的<A Treatise on Electricity and Magnetism>(电磁 ...
- 旋度的散度为零证明_(大牛分享)实列讲解:Python Sympy计算梯度、散度和旋度...
今天为大家带来的内容是:(大牛分享)实列讲解:Python Sympy计算梯度.散度和旋度 sympy有个vector 模块,里面提供了求解标量场.向量场的梯度.散度.旋度等计算,官方参考连接: ht ...
最新文章
- 一个完美网站的101项指标(转)
- 【干货】智能电视UI设计那些事儿
- 人工智能能否代替大脑_人工智能大脑跟人类大脑的区别,智脑的发展如何?能否超越人脑?...
- python处理大数据越来越慢_请问使用JdbcTemplate读取大数据很慢如何优化?(十几万数据)...
- 星期四星期五,越学越难
- mysql 升级高可用_MySQL高可用方案升级规划
- 6 rethad 自定义硬盘_Windows10必备6款优质软件,每个都是神器
- 国内服务器免备案教程 可使用80端口进入后台
- java和javascript有什么区别_javascript与java有什么区别?
- [论文解读]Bayesian Generalized Kernel Inference for Terrain Traversability Mapping
- matlab求定积分和不定积分
- 联合省选2022游记
- 解放前端工程师——手把手教你开发自己的自定义列表和自定义表单系列之一缘起
- 关于C语言文件的读写
- 智能在线客服系统源码 国际版多语言多商户智能机器人源码
- arm服务器虚拟x86,x86服务器与arm
- STM32H750(或743)核心电源Vcore使用外部开关电源SMPS
- Java微信公众号开发之微信粉丝信息一键同步
- 【gt+】RS485详解
- html网页底部弹窗,【HTML】底部弹窗插件代码
热门文章
- QGIS空间数据分析——空间数据基本处理与计算
- 天创速盈:拼多多推广效果不好,哪里需要改善?
- vue 生命周期activated与created使用
- Recoil 的使用
- 产品周报第26期|富文本编辑器新增预览功能;博客首页增加上次阅读频道记录……
- WIN7、WIN8、WIN10家庭组共享
- 算法设计题3.34-栈和队列-第3章-《数据结构习题集》-严蔚敏吴伟民版
- Vue+elementUI走马灯实现界面3分钟无点击操作出现全屏banner
- h5php大转盘抽奖,jQuery带次数带弹窗的大转盘抽奖代码(支持h5)
- 对等商务_对等| 第2部分