将要学习到什么

介绍共轭相似以及共轭对角化的相关定义以及基本推论.

基本定义

  定义 1： 矩阵 \(A,B \in M_n\) 称为共轭相似的，如果存在一个非奇异的 \(S \in M_n\) 使得 \(A=SB \bar{S}^{-1}\).
 
如果 \(U\) 是酉矩阵，那么 \(\bar{U}^{-1}=\bar{U}^*=U^T\)，所以酉相合（\(A=UBU^T\)）以及酉共轭相似（\(A=UB\bar{U}^{-1}\)）是相同的；如果 \(Q\) 是复正交的，则有 \(\bar{Q}^{-1}=\bar{Q}^T=Q^*\)，所以复正交的 \(\\*\) 相合（\(A=QBQ^*\)）与复正交的共轭相似（\(A=QB\bar{Q}^{-1}\)）是相同的；如果 \(R\) 是实的非奇异矩阵，那么 \(\bar{R}^{-1}=R^{-1}\)，故而实相似（\(A=RBR^{-1}\)）与实共轭相似（\(A=RB\bar{R}^{-1}\)）是相同的.
 
对于 \(1\) 阶矩阵，相似是平凡的（\(sas^{-1}=a\)），但是共轭相似是一个旋转：如果 \(s = \lvert s \rvert \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\)，则有 \(sas^{-1}=\lvert s \rvert \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}a\lvert s \rvert ^{-1} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} = \mathrm{e}^{2\mathrm{i} \theta} a\). 因此，选择合适的 \(\theta\)，可以使得每个 \(1\times 1\) 复矩阵 \([a]\) 都共轭相似于 \([\bar{a}]\)、\([-a]\)、\([\lvert a \rvert]\).
 
共轭相似性是 \(M_n\) 上的一个等价关系. 那么哪些等价类包含分块三角矩阵、三角矩阵或者对角矩阵的代表元？
 
  定义 2： 矩阵 \(A \in M_n\) 称为是可共轭三角化的（可分块共轭三角化的），如果存在一个非奇异的 \(S \in M_n\)，使得 \(S^{-1}A\bar{S}\) 是上三角的（分块上三角的）； 称它是可共轭对角化的，如果 \(S^{-1}A\bar{S}\) 是对角的. 称它是可共轭酉三角化的，或者可共轭酉对角化的，如果它酉相合于一个所要求形状的矩阵.
 
如果 \(A \in M_n\) 可以共轭三角化，又如果 \(S^{-1}A\bar{S}=\Delta\) 是上三角的，则计算显示 \(\Delta \bar{\Delta} = S^{-1}(A\bar{A})S\) 的主对角元素是非负的. 反之，如果 \(A\bar{A}\) 的每个特征值都是非负的，那么先前的结论就确保 \(A\) 是可以共轭酉三角化的. 如果 \(A\bar{A}\) 的某个特征值不是实的，或者是负的实数，那么 \(A\) 不可以共轭酉三角化，但是它可以分块共轭三角化，其中的分块是 \(1\) 阶以及 \(2\) 阶的对角分块，这些对角分块与 \(A\bar{A}\) 的非实的共轭的特征值或者成对相等的负实的特征值相关联.
 
  定理 1： 设给定 \(A \in M_n\). 则以下诸命题等价.
  (a) \(A\) 可以共轭三角化
  (b) \(A\) 可以共轭酉三角化
  (c) \(A\bar{A}\) 的每个特征值都是非负的实数
 
如果 \(A \in M_n\) 是可以共轭酉对角化的，那么就存在一个酉矩阵 \(U\)，使得 \(A=U\Lambda \bar{U}^{-1} = U \Lambda U^T\)，其中 \(\Lambda = \mathrm{diag} (\lambda_1,\cdots, \lambda_n)\)，由此推出 \(A\) 是对称的. 反之，如果 \(A\) 是对称的，那么 \(A\) 是可以共轭酉对角化的.
 
  定理 2： 矩阵 \(A \in M_n\) 是可以共轭酉对角化的，当且仅当它是对称的.
 
我们可以怎样来决定一个给定的非对称的方阵是否可以通过（必定非酉的）共轭相似实现共轭对角化？如果 \(S=[s_1 \quad \cdots \quad s_n]\) 是非奇异的且按照它的列予以分划，又如果 \(S^{-1}A\bar{S}=\Lambda = \mathrm{diag} (\lambda_1,\cdots, \lambda_n)\)，那么 \(A\bar{S} =S\Lambda\)，所以对 \(i=1,\cdots, n\) 有 \(A \bar{s}_i = \lambda_i s_i\).
 
  定义 3：设给定 \(A \in M_n\). 一个非零向量 \(x \in \mathbb{C}^n\) 使得对某个 \(\lambda \in \mathbb{C}\) 有 \(A \bar{x} =\lambda x\)，这个向量称为 \(A\) 的一个共轭特征向量；纯量 \(\lambda\) 称为 \(A\) 的一个共轭特征值. 我们称共轭特征向量 \(x\) 与共轭特征值 \(\lambda\) 相伴的. 元素对 \(\lambda\)，\(x\) 称为 \(A\) 的一个共轭特征对.
 
\(A\) 的共轭特征向量生成的子空间是一维的共轭不变子空间. 引理 1确保每一个 \(A \in M_n\) 都有一个维数为 \(1\) 或者 \(2\) 的共轭不变子空间.

共轭对角化的条件

如果 \(S^{-1}A\bar{S}=\Lambda\) 是对角的，则恒等式 \(A\bar{S} =S\Lambda\) 确保 \(S\) 的每一列都是 \(A\) 的一个共轭特征向量，所以存在 \(\mathbb{C}^n\) 的一组由 \(A\) 的共轭特征向量组成的基. 反之，如果存在 \(\mathbb{C}^n\) 的一组由 \(A\) 的共轭特征向量组成的基
\(\{s_1 \quad \cdots \quad s_n \}\)，那么 \(S=[s_1 \quad \cdots \quad s_n]\) 就是非奇异的，对某个对角矩阵 \(\Lambda\) 有 \(A\bar{S} =S\Lambda\)，且 \(S^{-1}A\bar{S}=\Lambda\). 由此得出结论：\(A \in M_n\) 是可以共轭对角化的，当且仅当它有 \(n\) 个线性无关的共轭特征向量.
 
如果 \(A\bar{x}=\lambda x\)，那么 \(A\bar{A}x=A(\overline{A\bar{x}})=A(\overline{\lambda x}) = \bar{\lambda}A\bar{x} = \bar{\lambda} \lambda x= \lvert \lambda \rvert ^2x\)，所以 \(\lambda\) 是 \(A\) 的共轭特征值，仅当 \(\lvert \lambda \rvert ^2\) 是 \(A\bar{A}\) 的一个（一定非负的）特征值. 举个例子，对于 \(A=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)，由于 \(A\bar{A}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) 没有负的特征值，所以 \(A\) 没有共轭特征值，从而也没有共轭特征向量.
 
  推论 1： 设给定 \(A \in M_n\)，并假设 \(A\bar{A}\) 有 \(k\) 个不同的非负特征值.
  (a) 矩阵 \(A\) 至少有 \(k\) 个线性无关的共轭特征向量
  (b) 如果 \(k=0\)，则 \(A\) 没有共轭特征向量
  (c) 如果 \(k=n\)，那么 \(A\) 是可以共轭对角化的.
 
我们的目的是要对一个给定的矩阵是否可以共轭对角化给出一个简单的条件，而作为第一步，我们来证明共轭对合矩阵共轭相似于单位矩阵.
 
  引理 1： 设给定 \(A \in M_n\). 那么， \(A\bar{A}=I\) 当且仅当存在一个非奇异的 \(S \in M_n\)，使得 \(A=S\bar{S}^{-1}\)
 
现在可以来陈述共轭对角化的一个必要且充分条件了.
 
  定理 3： 给定 \(A \in M_n\) 是可以共轭对角化的，当且仅当 \(A\bar{A}\) 可以对角化（通过相似），\(A\bar{A}\) 的每一个特征值都是非负实数，且 \(\mathrm{rank}\, A = \mathrm{rank}\, A\bar{A}\).

应该知道什么

• 对于 \(1\) 阶矩阵，共轭相似是一个旋转
• 共轭相似性是 \(M_n\) 上的一个等价关系
• 矩阵 \(A \in M_n\) 是可以共轭酉对角化的，当且仅当它是对称的
• \(A \in M_n\) 是可以共轭对角化的，当且仅当它有 \(n\) 个线性无关的共轭特征向量