图像处理中的一阶偏导和二阶偏导

1. 一阶差分：

2. 二阶偏导数的推导和近似：

3. 上式以点（i+1，j）为中心，用i代换i+1可得以（i,j）为中心的二阶偏导数则有：

4. 同理：

5. 进而可推导：

6. 这样我们就可以很好的运用其他的一阶偏导的定义，如SIFT特征OpenCV实现版本中的一阶以及二阶偏导：

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/*
Computes the partial derivatives in x, y, and scale of a pixel in the DoG
scale space pyramid.
@param dog_pyr DoG scale space pyramid
@param octv pixel's octave in dog_pyr
@param intvl pixel's interval in octv
@param r pixel's image row
@param c pixel's image col
@return Returns the vector of partial derivatives for pixel I
{ dI/dx, dI/dy, dI/ds }^T as a CvMat*
*/
static CvMat* deriv_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c )
{
CvMat* dI;
double dx, dy, ds;
dx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) ) / 2.0;
dy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) ) / 2.0;
ds = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) ) / 2.0;
dI = cvCreateMat( 3, 1, CV_64FC1 );
cvmSet( dI, 0, 0, dx );
cvmSet( dI, 1, 0, dy );
cvmSet( dI, 2, 0, ds );
return dI;
}
/*
Computes the 3D Hessian matrix for a pixel in the DoG scale space pyramid.
@param dog_pyr DoG scale space pyramid
@param octv pixel's octave in dog_pyr
@param intvl pixel's interval in octv
@param r pixel's image row
@param c pixel's image col
@return Returns the Hessian matrix (below) for pixel I as a CvMat*
/ Ixx Ixy Ixs / <BR>
| Ixy Iyy Iys | <BR>
/ Ixs Iys Iss /
*/
static CvMat* hessian_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c )
{
CvMat* H;
double v, dxx, dyy, dss, dxy, dxs, dys;
v = pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c );
dxx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) - 2 * v );
dyy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) - 2 * v );
dss = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) - 2 * v );
dxy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c+1 ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c-1 ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c+1 ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c-1 ) ) / 4.0;
dxs = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c+1 ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c-1 ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c+1 ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c-1 ) ) / 4.0;
dys = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r+1, c ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r-1, c ) -
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r+1, c ) +
pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r-1, c ) ) / 4.0;
H = cvCreateMat( 3, 3, CV_64FC1 );
cvmSet( H, 0, 0, dxx );
cvmSet( H, 0, 1, dxy );
cvmSet( H, 0, 2, dxs );
cvmSet( H, 1, 0, dxy );
cvmSet( H, 1, 1, dyy );
cvmSet( H, 1, 2, dys );
cvmSet( H, 2, 0, dxs );
cvmSet( H, 2, 1, dys );
cvmSet( H, 2, 2, dss );
return H;
}

/* Computes the partial derivatives in x, y, and scale of a pixel in the DoG scale space pyramid.@param dog_pyr DoG scale space pyramid @param octv pixel's octave in dog_pyr @param intvl pixel's interval in octv @param r pixel's image row @param c pixel's image col@return Returns the vector of partial derivatives for pixel I{ dI/dx, dI/dy, dI/ds }^T as a CvMat* */ static CvMat* deriv_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c ) {CvMat* dI;double dx, dy, ds;dx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) -pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) ) / 2.0;dy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) -pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) ) / 2.0;ds = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) -pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) ) / 2.0;dI = cvCreateMat( 3, 1, CV_64FC1 );cvmSet( dI, 0, 0, dx );cvmSet( dI, 1, 0, dy );cvmSet( dI, 2, 0, ds );return dI; }/* Computes the 3D Hessian matrix for a pixel in the DoG scale space pyramid.@param dog_pyr DoG scale space pyramid @param octv pixel's octave in dog_pyr @param intvl pixel's interval in octv @param r pixel's image row @param c pixel's image col@return Returns the Hessian matrix (below) for pixel I as a CvMat*/ Ixx Ixy Ixs / <BR>| Ixy Iyy Iys | <BR>/ Ixs Iys Iss / */ static CvMat* hessian_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c ) {CvMat* H;double v, dxx, dyy, dss, dxy, dxs, dys;v = pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c );dxx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) + pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) - 2 * v );dyy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) +pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) - 2 * v );dss = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) +pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) - 2 * v );dxy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c+1 ) -pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c-1 ) -pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c+1 ) +pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c-1 ) ) / 4.0;dxs = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c+1 ) -pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c-1 ) -pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c+1 ) +pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c-1 ) ) / 4.0;dys = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r+1, c ) -pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r-1, c ) -pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r+1, c ) +pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r-1, c ) ) / 4.0;H = cvCreateMat( 3, 3, CV_64FC1 );cvmSet( H, 0, 0, dxx );cvmSet( H, 0, 1, dxy );cvmSet( H, 0, 2, dxs );cvmSet( H, 1, 0, dxy );cvmSet( H, 1, 1, dyy );cvmSet( H, 1, 2, dys );cvmSet( H, 2, 0, dxs );cvmSet( H, 2, 1, dys );cvmSet( H, 2, 2, dss );return H; }

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