矩阵的Kronecker积

矩阵的Kronecker积的定义

设矩阵A=(aij)∈Mm,n,B∈Ms,t.A=(a_{ij})\in M_{m,n},B\in M_{s,t}.A=(aij)∈Mm,n,B∈Ms,t.AAA和BBB的 KroneckerKroneckerKronecker积(也称为张量积)记作A⊗BA\otimes BA⊗B，定义为下面的分块矩阵：
A⊗B=(a11Ba12B⋯a1nBa21Ba22B⋯a2nB⋮⋮⋮am1Bam2B⋯amnB)∈Mms,nt.A\otimes B=\begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B\\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \end{pmatrix} \in M_{ms,nt}.A⊗B=⎝⎜⎜⎜⎛a11Ba21B⋮am1Ba12Ba22B⋮am2B⋯⋯⋯a1nBa2nB⋮amnB⎠⎟⎟⎟⎞∈Mms,nt.

矩阵的Kronecker积的性质

A∈Mm,n,B∈Ms,t,C∈Mp,q,D∈Mt,rA\in M_{m,n},B\in M_{s,t},C\in M_{p,q},D\in M_{t,r}A∈Mm,n,B∈Ms,t,C∈Mp,q,D∈Mt,r

(αA)⊗B=A⊗(αB)=α(A⊗B),α∈C(\alpha A)\otimes B=A\otimes (\alpha B)=\alpha(A\otimes B),\alpha\in \mathbf{C}(αA)⊗B=A⊗(αB)=α(A⊗B),α∈C
(A⊗B)T=AT⊗BT(A \otimes B)^T=A^T\otimes B^T(A⊗B)T=AT⊗BT
(A⊗B)H=AH⊗BH(A \otimes B)^H=A^H\otimes B^H(A⊗B)H=AH⊗BH
(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C)(A \otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C)
A⊗(B+C)=(A⊗B)+(A⊗C)A\otimes (B+C)=(A\otimes B)+(A\otimes C)A⊗(B+C)=(A⊗B)+(A⊗C)
(A+B)⊗C=(A⊗C)+(B⊗C)(A+B)\otimes C=(A\otimes C)+(B\otimes C)(A+B)⊗C=(A⊗C)+(B⊗C)
A⊗B=0A \otimes B=0A⊗B=0当且仅当A=0A=0A=0或B=0B=0B=0
(A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD)(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes(BD)(A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD)

设A∈Mm,B∈MnA\in M_{m},B\in M_{n}A∈Mm,B∈Mn

若A,BA,BA,B对称，则A⊗BA \otimes BA⊗B对称
若A,BA,BA,B为HermitHermitHermit矩阵，则A⊗BA\otimes BA⊗B是HermitHermitHermit矩阵
若A,BA,BA,B可逆，则A⊗BA\otimes BA⊗B也可逆，且 (A⊗B)−1=A−1⊗B−1(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}(A⊗B)−1=A−1⊗B−1
若A,BA,BA,B为正规矩阵，则A⊗BA\otimes BA⊗B是正规矩阵
若A,BA,BA,B为酉矩阵，则A⊗BA\otimes BA⊗B是酉矩阵
若λ∈σ(A)\lambda\in\sigma(A)λ∈σ(A)，xxx是对应的特征向量，μ∈σ(B)\mu\in\sigma(B)μ∈σ(B)，yyy是对应的特征向量，则λμ∈σ(A⊗B)\lambda\mu\in\sigma(A\otimes B)λμ∈σ(A⊗B)，x⊗yx\otimes yx⊗y是对应的特征向量
若σ(A)={λ1,⋯,λm},σ(B)={μ1,⋯,μn}\sigma(A)= \{ \lambda_1,\cdots,\lambda_{m}\},\sigma(B)= \{ \mu_1,\cdots,\mu_{n}\}σ(A)={λ1,⋯,λm},σ(B)={μ1,⋯,μn},则
σ(A⊗B)={λiμj∣i=1,⋯,m,j=1,⋯,n}\sigma(A\otimes B)=\{\lambda_{i}\mu_{j} | i=1,\cdots,m,j=1,\cdots,n\}σ(A⊗B)={λiμj∣i=1,⋯,m,j=1,⋯,n}
det(A⊗B)=(detA)n(detB)mdet(A\otimes B)=(detA)^n(detB)^mdet(A⊗B)=(detA)n(detB)m
若sv(A)={s1,⋯,sm},sv(B)={t1,⋯,tn}sv(A)= \{ s_1,\cdots,s_{m}\},sv(B)= \{ t_1,\cdots,t_{n}\}sv(A)={s1,⋯,sm},sv(B)={t1,⋯,tn},则
sv(A⊗B)={sitj∣i=1,⋯,m,j=1,⋯,n}sv(A\otimes B)=\{s_{i}t_{j} | i=1,\cdots,m,j=1,\cdots,n\}sv(A⊗B)={sitj∣i=1,⋯,m,j=1,⋯,n}
rank(A⊗B)=(rankA)(rankB)rank(A\otimes B)=(rankA)(rankB)rank(A⊗B)=(rankA)(rankB)

矩阵的拉直

矩阵的拉直的定义

设A=(a1,a2,⋯,an)∈Mm,nA=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in M_{m,n}A=(a1,a2,⋯,an)∈Mm,n，则
vec(A)=(a1a2⋮an).vec(A)=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}.vec(A)=⎝⎜⎜⎜⎛a1a2⋮an⎠⎟⎟⎟⎞.

矩阵的拉直的性质

1、设A∈Mm,n,B∈Mn,k,C∈Mk,t,A\in M_{m,n},B\in M_{n,k},C\in M_{k,t},A∈Mm,n,B∈Mn,k,C∈Mk,t,则
vec(ABC)=(CT⊗A)vecB.vec(ABC)=(C^T\otimes A)vecB.vec(ABC)=(CT⊗A)vecB.
2、存在一个只依赖于m,nm,nm,n的mnmnmn阶置换矩阵P(m,n)P(m,n)P(m,n)使得
vecXT=P(m,n)vecX,vecX^T=P(m,n)vecX,vecXT=P(m,n)vecX,对任何X∈Mm,nX\in M_{m,n}X∈Mm,n成立.

矩阵的方程

定理1：矩阵方程AX−XB=C(称为Sylvester方程),A∈Mm,B∈Mn,C∈Mm,nAX-XB=C(称为Sylvester方程), A\in M_m,B\in M_n,C\in M_{m,n}AX−XB=C(称为Sylvester方程),A∈Mm,B∈Mn,C∈Mm,n有唯一解当且仅当AAA和BBB没有公共特征值

定理2：矩阵方程AX−XB=C(称为Sylvester方程),A∈Mm,B∈Mn,C∈Mm,nAX-XB=C(称为Sylvester方程), A\in M_m,B\in M_n,C\in M_{m,n}AX−XB=C(称为Sylvester方程),A∈Mm,B∈Mn,C∈Mm,n有解当且仅当(A00B)\begin{pmatrix} A&0\\ 0&B \end{pmatrix}(A00B)和(AC0B)\begin{pmatrix} A&C\\ 0&B \end{pmatrix}(A0CB)相似
例1、设A∈Cm×m,B∈Cn×n,X(t)∈Cm×nA\in \mathbf{C}^{m\times m},B\in \mathbf{C}^{n\times n},X(t)\in \mathbf{C}^{m\times n}A∈Cm×m,B∈Cn×n,X(t)∈Cm×n，求下列微分方程初值问题的解：
{dX(t)dt=AX(t)+X(t)BX(0)=X0\begin{cases}\dfrac{dX(t)}{dt}=AX(t)+X(t)B\\ X(0)=X_0 \end{cases} ⎩⎨⎧dtdX(t)=AX(t)+X(t)BX(0)=X0
引理： 设矩阵A∈Cm×m,B∈Cn×nA\in \mathbf{C}^{m\times m},B\in\mathbf{C}^{n\times n}A∈Cm×m,B∈Cn×n,则eA×In=eA×Ine^{A\times I_n}=e^A\times I_neA×In=eA×In,eIm×B=Im×Be^{I_m\times B}=I_m\times BeIm×B=Im×B.
proof:proof:proof:
eA×In=∑k=1∞1k!(A⊗I)k=∑k=1∞1k!(Ak⊗Ik)=(∑k=1∞1k!Ak)⊗I=eA×Ine^{A\times I_n}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}(A\otimes I)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}(A^k\otimes I^k)=(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}A^k)\otimes I=e^A\times I_neA×In=k=1∑∞k!1(A⊗I)k=k=1∑∞k!1(Ak⊗Ik)=(k=1∑∞k!1Ak)⊗I=eA×In
同理可得：eIm×B=Im×Be^{I_m\times B}=I_m\times BeIm×B=Im×B
解、对微分方程两边拉直，易得：
{dvecX(t)dt=(In⊗A+BT⊗Im)vecX(t)vecX(0)=vecX0\begin{cases}\dfrac{dvecX(t)}{dt}=(I_n\otimes A+B^T\otimes I_m)vecX(t)\\ vecX(0)=vecX_0 \end{cases} ⎩⎨⎧dtdvecX(t)=(In⊗A+BT⊗Im)vecX(t)vecX(0)=vecX0
由引理可得：
vecX(t)=et(In⊗A+BT⊗Im)vecX0=(eBTt⊗eAt)vecX0=vec(eAtX0(eBTt)T)=vec(eAtX0eBt)vecX(t)=e^{t(I_n\otimes A+B^T\otimes I_m)}vecX_0=(e^{B^Tt}\otimes e^{At})vecX_0=vec(e^{At}X_0(e^{B^Tt})^T)=vec(e^{At}X_0e^{B^t})vecX(t)=et(In⊗A+BT⊗Im)vecX0=(eBTt⊗eAt)vecX0=vec(eAtX0(eBTt)T)=vec(eAtX0eBt)
于是X(t)=eAtX0eBtX(t)=e^{At}X_0e^{B^t}X(t)=eAtX0eBt为微分方程的解