矩阵的Kronecker积、Khatri-Rao积、Hadamard积

1、矩阵的Kronecker积

Kronecker积也称为克罗内克积，是任意大小矩阵的运算，使用符号其表示为 $\bigotimes$ ：若A为大小m*n的矩阵，B为大小p*q的矩阵，则A与B的克罗内克积是一个大小为mp*nq的矩阵，其表述为：

其具体形式为：

克罗内克积是张量积的特殊形式，具有下列一些性质：

$A\bigotimes (B+C)=A\bigotimes B+A\bigotimes C$ ； $(A+B)\bigotimes C=A\bigotimes C+B\bigotimes C$ ；

$(kA)\bigotimes B=k(A\bigotimes B)$ ； $(A\bigotimes B)\bigotimes C=A\bigotimes (B\bigotimes C)$

但是，该运算并不满足交换律，即 $A\bigotimes B\neq B\bigotimes A$ 。

2、Khatri-Rao积

Khatri-Rao积的定义是两个具有相同列数的矩阵 $A\in R^{I*K}$ 与矩阵 $B\in R^{J*K}$ 的对应列向量的克罗内克积排列而成的，其生成的矩阵大小为IJ*K，其表示为：

$A\bigodot B=[a1\bigotimes b1 a2\bigotimes b2 ... ak\bigotimes bk]$ 。

例如： $\begin{bmatrix} 1,2 & \\ 3,4& \\ 5,6& \end{bmatrix}\bigodot \begin{bmatrix} 2,6 & \\ 3,4& \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2,12 & \\ 3,8& \\ 6,24& \\ 9,16& \\ 10,36& \\ 15,24& \end{bmatrix}$ 。

Khatri-Rao积的性质：

$A\bigodot B\bigodot C=(A\bigodot B)\bigodot C=A\bigodot (B\bigodot C)$ ； $(A\bigodot B)^{T}(A\bigodot B)=A^{T}A*B^{T}B$

3、Hadamard积

Hadamard积也称为哈达玛积，是矩阵的一种乘积运算，对同等大小的两个矩阵相同位置上进行乘积。其表达为：

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