回忆傅里叶频率分析，DTFT

“汝果欲学诗，工夫在诗外”，这两句诗来形容对DCT的学习最贴切不过了，因为这个DCT是从DTFT技术衍生出来，具体实现又大量借鉴了FFT的蝶形运算，所以想搞懂DCT，先要拾起久违的傅里叶频率分析理论。BTW举的例子大都是声音相关的信号。

信号的频率分析

从1672年牛顿使用术语“频谱”来描述白光折射出的有色光开始，到十九世纪法国数学家傅里叶（1672-1830）用三角级数扩展来描述物体的热传导和温度分布，又经历了100年的发展，20世纪这项数学技术应用于基于时间信号的分析当中，形成了信号频率分析的一个共识：大多数有实际意义的信号都可以分解成正弦信号成分之和。对于周期信号，这样的分解成为傅里叶级数。而对于有限能量信号，这样的分解成为傅里叶变换。LTI系统的对输入为正弦信号的响应仍然是一个频率相同，但是幅度和相位产生差异的正弦信号，这意味着正弦曲线成分的线性组合输入，将在LTI系统中产生类似频率组合的线性输出，而变化的只是这些组合分量的幅度和相位，LTI系统的这个特性令正弦分解变得如此重要，而对应的傅里叶频率分析方法也成为了数字信号处理的基石【1】。

连续时间周期信号的傅里叶级数

连续时间周期信号的复指数信号表达形式：
x(t)=∑k=−∞∞ckej2πkF0tx(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{j2\pi kF_0t} x(t)=k=−∞∑∞​ck​ej2πkF0​t
其中系数ckc_kck​的计算公式（分析等式）为

ck=1Tp∫t0t0+Tpx(t)e−j2πkF0tdtc_k =\frac{1}{T_p} \int_{t_0}^{t_0+T_p}x(t)e^{-j2\pi kF_0t}\,{\rm d}t ck​=Tp​1​∫t0​t0​+Tp​​x(t)e−j2πkF0​tdt
理想情况下，典型的乐音就是连续时间周期信号，基音的频率是F0F_0F0​，决定了乐音的声调，泛音是基音的倍频，决定了乐音的音色，不同幅值和相位的基音+泛音的组合就形成了丰富的乐音。
ck\qquad c_kck​是复值，而自然界中大部分信号是实数（我就没见过虚数），这样的话ckc_kck​和c−kc_{-k}c−k​是共轭的，将ckc_kck​写成复指数表达式：
ck=∣ck∣ejθk,c−k=∣ck∣e−jθkc_k=|c_k|e^{j\theta_k}, c_{-k}=|c_k|e^{-j\theta_k} ck​=∣ck​∣ejθk​,c−k​=∣ck​∣e−jθk​
可以将上面的公式改写为实数的傅里叶级数表达：
x(t)=c0+2∑k=1∞∣ck∣cos(j2πkF0t+θk)x(t) =c_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty}|c_k|cos(j2\pi kF_0t+\theta_k) x(t)=c0​+2k=1∑∞​∣ck​∣cos(j2πkF0​t+θk​)
联系到本文的题目，有那味儿吧。。。。。

连续时间非周期信号的傅里叶变换

\qquad乐音的确很美，我们无法探求其原因，从频谱上可以窥见固定间隔的离散谱，简洁而和谐。但世界中不能只有乐音，有很多声音无规律可循，比如机器的“隆隆声”，刹车的声音，还有我们的语音，这些信号很显然是非周期的，那么从频率分析的角度，他们的频谱是什么样的呢？答案就是连续的，连续到你觉得都不靠谱，但现实世界就是很多连续谱信号组成的，如乐音那样魅力和谐的线状谱只是凤毛麟角。省去推导，直接列出公式：
X(F)=∫−∞∞x(t)e−j2πFtdtX(F) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi Ft}\,{\rm d}t X(F)=∫−∞∞​x(t)e−j2πFtdt
x(t)=∫−∞∞X(F)ej2πFtdFx(t) = \int_{-\infty}^{\infty}X(F)e^{j2\pi Ft}\,{\rm d}F x(t)=∫−∞∞​X(F)ej2πFtdF
而从线性频率F直接映射到弧度频率Ω\OmegaΩ的方法是dF=dΩ/2π{\rm d}F = {\rm d}\Omega/2\pidF=dΩ/2π,就会得到另外一个常见的傅里叶变换形式
X(Ω)=∫−∞∞x(t)e−jΩtdtX(\Omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\Omega t}\,{\rm d}t X(Ω)=∫−∞∞​x(t)e−jΩtdt
x(t)=∫−∞∞X(Ω)ejΩtdΩx(t) = \int_{-\infty}^{\infty}X(\Omega)e^{j\Omega t}\,{\rm d}\Omega x(t)=∫−∞∞​X(Ω)ejΩtdΩ
以上都是基于连续时间信号来分析的，但计算机是数字的，是离散的，最痛苦的是数字的和离散的不是一回事，所以产生了两个概念DTFT-Discrete Time Fourier Transform和DFT-Discrete Fourier Transform。

离散时间周期信号的频率分析

基本周期为N的离散时间信号，频率范围被展开在0−2π0-2\pi0−2π范围，由2π/N2\pi/N2π/N弧度，或者f=1/Nf=1/Nf=1/N的周期成分组成。傅里叶级数是包含最多N个频率成分的复指数展开，公式如下：
x(n)=∑k=0N−1ckej2πkn/Nx(n) = \sum_{k=0}^{N-1}c_ke^{j2\pi kn/N} x(n)=k=0∑N−1​ck​ej2πkn/N
ck=1N∑n=0N−1x(n)e−j2πkn/Nc_k =\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N} ck​=N1​n=0∑N−1​x(n)e−j2πkn/N
这个叫做DTFS-Discrete Time Fourier Series。

离散时间非周期信号的频率分析

这就是开头提到的DTFT-Discrete Time Fourier Transform了。
x(n)=∫−ππX(ω)ejωdωx(n) = \int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega}\,{\rm d}\omega x(n)=∫−ππ​X(ω)ejωdω
X(ω)=∑n=−∞∞x(n)e−jωnX(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} X(ω)=n=−∞∑∞​x(n)e−jωn

四种变换的关系

• 连续时间信号具有非周期行频谱
• 离散时间信号具有周期性频谱
• 周期信号具有离散谱
• 非周期信号具有连续谱

离散时间信号傅里叶变换的对称性，离DCT又近了一步

非周期的有限能量信号傅里叶变换有很多性质，有些性质能减少复杂度和计算量。先贴图，整体性质在图中总结的很详细
而实信号偶对称（实偶信号）的时候，其傅里叶变换也表现为实偶性，并且只需要余弦函数就能得出所有的公式：

X(ω)=XR(ω)=x(0)+2∑n=1∞x(n)cosωnX(\omega)=X_R(\omega) = x(0)+2\sum_{n=1}^{\infty}x(n)cos{\omega n} X(ω)=XR​(ω)=x(0)+2n=1∑∞​x(n)cosωn
因为
XI(ω)=0X_I(\omega) = 0 XI​(ω)=0
逆运算
x(n)=1π∫−ππXR(ω)cosωndωx(n) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_R(\omega)cos{\omega n}\,{\rm d}\omega x(n)=π1​∫−ππ​XR​(ω)cosωndω
这个就是DCT的初始版本。

主角登场：DFT和DCT

DFT的登场是因为上一章DTFT的最后一张图，图中显示非周期离散时间信号的频域分析是一个连续函数，但是连续函数对于计算机处理来说是灾难性的，如果能将连续函数进行采样，变成离散的，计算机处理就变成简单的加乘运算，DFT就是来打通最后一关的，DCT则是DFT对于实偶性信号的快速运算。

频率采样和时域重建

DFT是对傅里叶变换X(ω)X(\omega)X(ω)一组N个离散频率值的抽样序列，而满足N>L,L是原始信号x(n)的时域长度N>L, L是原始信号x(n)的时域长度N>L,L是原始信号x(n)的时域长度之后，又可以利用一个逆变换来重建这个时域信号x(n)x(n)x(n)：
DFT:X(k)=∑n=0N−1x(n)e−j2πkn/Nk=0,1,2,...,N−1DFT:X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}\,\,\,k=0,1,2,...,N-1 DFT:X(k)=n=0∑N−1​x(n)e−j2πkn/Nk=0,1,2,...,N−1
IDFT:x(n)=1N∑n=0N−1X(k)ej2πkn/NIDFT:x(n) =\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}X(k)e^{j2\pi kn/N} IDFT:x(n)=N1​n=0∑N−1​X(k)ej2πkn/N

实值偶序列的DFT到DCT

实值偶序列的DFT

如果序列x(n)是实值的偶对称序列，即x(n)=x(N−n),0⩽n⩽N−1x(n)=x(N-n)\,\,,0\leqslant n \leqslant N-1x(n)=x(N−n),0⩽n⩽N−1，那么DFT可利用对称性得出XI(k)=0X_I(k)=0XI​(k)=0，DFT简化为：

DFT:X(k)=∑n=0N−1x(n)cos(2πkn/N)k=0,1,2,...,N−1DFT:X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)cos(2\pi kn/N)\,\,\,k=0,1,2,...,N-1 DFT:X(k)=n=0∑N−1​x(n)cos(2πkn/N)k=0,1,2,...,N−1
IDFT:x(n)=1N∑n=0N−1X(k)cos(j2πkn/N）IDFT:x(n) =\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}X(k)cos(j2\pi kn/N） IDFT:x(n)=N1​n=0∑N−1​X(k)cos(j2πkn/N）

原型DCT

根据这个特性，对任何序列进行时域偶延拓之后，就可以利用cosine函数来实现序列的时频转换，运算效率和复杂度将大大减小。算法推导之后（太难不愿意啃了）得出基本的DCT公式：
DCT:V(k)=2∑n=0N−1x(n)cos[πN(n+12)k]k=0,1,2,...,N−1DCT:V(k) = 2\sum_{n=0}^{N-1}x(n)cos\left[ \frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2})k\right]\,\,\,k=0,1,2,...,N-1 DCT:V(k)=2n=0∑N−1​x(n)cos[Nπ​(n+21​)k]k=0,1,2,...,N−1
IDCT:x(n)=1N[V(0)2+∑k=0N−1V(k)cos[πN(n+12)k]]IDCT:x(n) =\frac{1}{N}\left[ \frac{V(0)}{2} + \sum_{k=0}^{N-1}V(k)cos\left[ \frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2})k\right]\right] IDCT:x(n)=N1​[2V(0)​+k=0∑N−1​V(k)cos[Nπ​(n+21​)k]]

归一化DCT

而为了归一化的考虑定义了一个归一化因子α(k)\alpha(k)α(k)如下：
α(k)={1N,k=02N,1⩽k ⩽N-1\alpha(k)= \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{N}}, & \text {k=0} \\ \sqrt{\frac{2}{N}}, & \text {1$\leqslant$ k $\leqslant$ N-1} \end{cases} α(k)=⎩⎨⎧​N1​​,N2​​,​k=01⩽ k ⩽ N-1​
得到归一化的FDCT：
FDCT:C(k)=α(k)∑n=0N−1x(n)cos[πN(n+12)k]k=0,1,2,...,N−1FDCT:C(k) = \alpha(k)\sum_{n=0}^{N-1}x(n)cos\left[ \frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2})k\right]\,\,\,k=0,1,2,...,N-1 FDCT:C(k)=α(k)n=0∑N−1​x(n)cos[Nπ​(n+21​)k]k=0,1,2,...,N−1
IFDCT:x(n)=∑k=0N−1α(k)C(k)cos[πN(n+12)k]IFDCT:x(n) = \sum_{k=0}^{N-1}\alpha(k)C(k)cos\left[ \frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2})k\right] IFDCT:x(n)=k=0∑N−1​α(k)C(k)cos[Nπ​(n+21​)k]

矩阵表达DCT

归一化的表达式可以进一步提取系数矩阵CNC_NCN​，定义矩阵CNC_NCN​元素为：
Ckn={1N,k=0, 0⩽n⩽N-1 2Ncos[πN(n+12)k],1⩽k⩽N-1, , 0⩽n⩽N-1C_{kn}= \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{N}}, & \text {k=0, 0$\leqslant$n$\leqslant$ N-1 } \\ \sqrt{\frac{2}{N}}cos\left[ \frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2})k\right], & \text {1$\leqslant$k$\leqslant$ N-1, , 0$\leqslant$n$\leqslant$ N-1} \end{cases} Ckn​=⎩⎨⎧​N1​​,N2​​cos[Nπ​(n+21​)k],​k=0, 0⩽n⩽ N-1 1⩽k⩽ N-1, , 0⩽n⩽ N-1​
这是一个N*N方阵。将x（n）定义为矢量表示：
xN=[x(0)x(1)...x(N−1)]Tx_N= [x(0) x(1) ... x(N-1)]^T xN​=[x(0)x(1)...x(N−1)]T
变换输出的矢量定义为c（n）
cN=[C(0)C(1)...C(N−1)]Tc_N= [C(0) C(1) ... C(N-1)]^T cN​=[C(0)C(1)...C(N−1)]T
那么我们将得到DCT的矩阵表达：
cN=CNxNxN=CNTcN\bold {c_N}=\bold {C_N}\bold {x_N}\\ \bold {x_N}=\bold {C_N^T}\bold {c_N} cN​=CN​xN​xN​=CNT​cN​
这个表达式是一个求逆运算，暗示了矩阵是正交的，即：CNT=CN−1\bold {C_N^T}=\bold {C_N^{-1}}CNT​=CN−1​，正交变换具有能量聚集特性，趋向于将平均能量的大部分转移到相对较少的变换系数分量上，这为信息压缩提供了一个非常有效的变换工具。推导的例子是type-II型，type-IV型衍生的MDCT被大量用于多媒体压缩编码当中，下一章继续推导。

TDAC修正的type-IV型DCT孕育了MDCT

type-IV DCT

X(k)=∑n=0N−1x(n)cos[πN(n+12)(k+12)]k=0,1,2,...,N−1X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)cos\left[ \frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2})(k+\frac{1}{2})\right]\,\,\,k=0,1,2,...,N-1 X(k)=n=0∑N−1​x(n)cos[Nπ​(n+21​)(k+21​)]k=0,1,2,...,N−1

MDCT

X(k)=∑n=02N−1x(n)cos[πN(n+12+N2)(k+12)]k=0,1,2,...,N−1X(k) = \sum_{n=0}^{2N-1}x(n)cos\left[ \frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2}+\frac{N}{2})(k+\frac{1}{2})\right]\,\,\,k=0,1,2,...,N-1 X(k)=n=0∑2N−1​x(n)cos[Nπ​(n+21​+2N​)(k+21​)]k=0,1,2,...,N−1

TDAC-Time-Domain Aliasing Cancellation

小结

离散余弦变换。

参考文献

1. 《数字信号处理》 （第四版）， John G. Proakis, Dinitris G.Manolakis 著，方艳梅等译，电子工业出版社
2. 《Discrete Cosine and Sine Transforms: General properties, Fast algorithms andInteger》，V. Britanak, P. Yip, K. R. Rao
3. 《低功耗MP3解码器设计及其可测性分析》博士论文，周锦锋，中科院计算所
4. 改進的離散餘弦變換 ,https://zh.wikipedia.org/wiki

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