0对任何数取余_初等数论_第五章_

第五章同余方程

本章主要介绍同余方程的基础知识，并介绍几类特殊的同余方程的解法。

第一节同余方程的基本概念

本节要介绍同余方程的基本概念及一次同余方程。

在本章中，总假定m是正整数。

定义1设f(x) = a n x n+ +a1x+a0是整系数多项式，称

f(x) ≡ 0 (mod m) (1) 是关于未知数x的模m的同余方程，简称为模m的同余方程。

若a n≡/0 (mod m)，则称为n次同余方程。

定义2设x0是整数，当x = x0时式(1)成立，则称x0是同余方程(1)的解。凡对于模m同余的解，被视为同一个解。同余方程(1)的解数是指它的关于模m互不同余的所有解的个数，也即在模m的一个完全剩余系中的解的个数。

由定义2，同余方程(1)的解数不超过m。

定理1下面的结论成立：

(ⅰ) 设b(x)是整系数多项式，则同余方程(1)与

f(x) +b(x) ≡b(x) (mod m)

等价；

(ⅱ) 设b是整数，(b, m) = 1，则同余方程(1)与

bf(x) ≡ 0 (mod m)

等价；

(ⅲ) 设m是素数，f(x) = g(x)h(x)，g(x)与h(x)都是整系数多项式，又设x0是同余方程(1)的解，则x0必是同余方程

g(x) ≡ 0 (mod m) 或h(x) ≡ 0 (mod m)

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