02 实数集的基本公理及其一般性质

\quad 我们需要对实数集作一个公理化的定义。

实数集：称集合 R \mathbb{R} R 为实数集，若其满足：

1 o 1^{o} 1o：有一个加法运算 “ + + +”;

2 o 2^{o} 2o：有一个乘法运算 “ ⋅ \cdot ⋅”;

3 o 3^{o} 3o：有序关系“ ≤ \le ≤”；

4 o 4^{o} 4o：满足完备性公理（连续性公理）。

\quad 实数集 R \mathbb{R} R 中的元素称为实数。

\quad 加法运算、乘法运算、序关系都比较好理解，什么是“完备性公理”？事实上，对于完备性公理，我们已经有了非常浅显的几何认识。比如：数轴上没有空隙。

实数集的基本公理

I. 加法公理： R \mathbb{R} R 上有一个运算 + + + 称为加法，如果满足：

a a a： ∃ \exists ∃ 中性元（零元） 0 0 0，使得 ∀ X ∈ R , x + 0 = x \forall ~ X\in \mathbb{R},x+0 = x ∀ X∈R,x+0=x;

b b b： ∀ x ∈ R \forall ~ x\in \mathbb{R} ∀ x∈R，存在其负元 − x -x −x，使得 x + ( − x ) = 0 x+(-x) = 0 x+(−x)=0;

c c c：结合律： ∀ x , y , z ∈ R , ( x + y ) + z = x + ( y + z ) \forall ~ x,y,z \in \mathbb{R},(x+y)+z = x+(y+z) ∀ x,y,z∈R,(x+y)+z=x+(y+z);

d d d：交换律： ∀ x , y ∈ R , x + y = y + x \forall ~ x,y\in \mathbb{R},x+y = y+x ∀ x,y∈R,x+y=y+x.

\quad 另外，若集合 G G G 满足 I 中的条件 a , b , c a,b,c a,b,c，则称 G G G 为一个群；若集合 G G G 同时满足 I 中的条件 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d，则称 G G G 是一个交换群或 Abel 群。

II. 乘法公理： R \mathbb{R} R 上有一个运算 ⋅ \cdot ⋅ 称为乘法，如果满足：

a a a： ∃ \exists ∃ 中性元（单位元） 1 ∈ R − { 0 } 1 \in \mathbb{R} -\{0\} 1∈R−{0}，使得 ∀ x ∈ R , x ⋅ 1 = x \forall ~ x\in \mathbb{R},x \cdot 1=x ∀ x∈R,x⋅1=x;

b b b： ∀ x ∈ R − { 0 } \forall ~ x \in \mathbb{R} - \{0\} ∀ x∈R−{0}，存在其逆元 x − 1 x^{-1} x−1，使得 x ⋅ x − 1 = 1 x\cdot x^{-1} = 1 x⋅x−1=1;

c c c：结合律： ∀ x , y , z ∈ R , ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) \forall x,y,z\in \mathbb{R},(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z) ∀x,y,z∈R,(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z);

d d d：交换律： ∀ x , y ∈ R , x ⋅ y = y ⋅ x \forall ~x,y \in \mathbb{R},x\cdot y = y \cdot x ∀ x,y∈R,x⋅y=y⋅x.

\quad 显然， R − { 0 } \mathbb{R} - \{0\} R−{0} 关于乘法构成一个群，且是 Abel 群。

I and II. 加法关于乘法的附加公理：（分配律） ∀ x , y , z ∈ R , ( x + y ) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z \forall ~ x,y,z \in \mathbb{R},(x+y)\cdot z = x \cdot z + y \cdot z ∀ x,y,z∈R,(x+y)⋅z=x⋅z+y⋅z.

Def. 代数域：集合 K K K 上若定义有加法、乘法、且满足分配律，则称 K K K 为一个代数域。

III. 序公理： R \mathbb{R} R 上有一个不等关系“ ≤ \le ≤”，如果满足：

a a a： ∀ x ∈ R , x ≤ x \forall~x \in \mathbb{R},x\le x ∀ x∈R,x≤x;

b b b： ∀ x , y ∈ R , ( x ≤ y ) ∧ ( y ≤ x ) ⟹ ( x = y ) \forall x,y\in \mathbb{R},(x\le y)\land (y \le x) \Longrightarrow(x = y) ∀x,y∈R,(x≤y)∧(y≤x)⟹(x=y);

c c c： ∀ x , y , z ∈ R , ( x ≤ y ) ∧ ( y ≤ z ) ⟹ ( x ≤ z ) \forall ~ x,y,z\in \mathbb{R},(x\le y)\land (y \le z) \Longrightarrow (x\le z) ∀ x,y,z∈R,(x≤y)∧(y≤z)⟹(x≤z);

d d d： ∀ x , y ∈ R , ( x ≤ y ) ∨ ( y ≤ x ) \forall ~ x,y\in \mathbb{R},(x\le y) \lor (y \le x) ∀ x,y∈R,(x≤y)∨(y≤x).

Def. 偏序集与线性序集：若集合 X X X 上具有满足 III 条件 a , b , c a,b,c a,b,c 的关系“ ≤ \le ≤”，则称 X X X 为偏序集；若集合 X X X 上具有同时满足 III 条件 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d 的关系“ ≤ \le ≤”，则称 X X X 为线性序集。

I and III. 加法与序的附加公理： ∀ x , y , z ∈ R , ( x ≤ y ) ⟹ ( x + z ≤ y + z ) \forall ~x,y,z \in \mathbb{R},(x\le y)\Longrightarrow (x+z \le y+z) ∀ x,y,z∈R,(x≤y)⟹(x+z≤y+z).

II and III. 乘法与序的附加公理： ( 0 ≤ x ) ∧ ( 0 ≤ y ) ⟹ ( 0 ≤ x ⋅ y ) (0\le x)\land (0 \le y)\Longrightarrow (0\le x\cdot y) (0≤x)∧(0≤y)⟹(0≤x⋅y).

IV. 完备性公理（连续性公理）：若 X , Y X,Y X,Y 是 R \mathbb{R} R 的两个非空子集，且对于 ∀ x ∈ X , y ∈ Y \forall ~x\in X,y \in Y ∀ x∈X,y∈Y，有 x ≤ y x\le y x≤y，则存在 c ∈ R c\in \mathbb{R} c∈R ，使得 x ≤ c ≤ y x\le c\le y x≤c≤y.

\quad 以上即为实数集的相关公理。可以说，任何满足以上公理的数学模型，都可以认为是实数集 R \mathbb{R} R 的一种具现。比如：

实数轴；
十进制无穷小数；
……

\quad 关于公理化模型，有两点需要注意：

无矛盾性：是否相容？
范畴性：若 A , B A,B A,B 各自构造出实数集 R A , R B \mathbb{R}_{A},\mathbb{R}_{B} RA,RB，则应有 R A → f R B \mathbb{R}_{A} \xrightarrow{f} \mathbb{R}_{B} RAf RB，其中 f f f 为同构映射。

实数集的一般性质

一、加法公理的推论

1： R \mathbb{R} R 中存在唯一的零元。

证明：反证法。

\quad 假设 R \mathbb{R} R 中同时有零元 0 1 , 0 2 0_{1},0_{2} 01,02，则：

0 1 = 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 = 0 2 0_{1} = 0_{1} + 0_{2} = 0_{2} + 0_{1} = 0_{2} 01=01+02=02+01=02

2：对于任意的 x ∈ R x \in \mathbb{R} x∈R，存在其唯一的负元 − x ∈ R {-x} \in \mathbb{R} −x∈R.

证明：反证法。

\quad 任取 x ∈ R x\in \mathbb{R} x∈R，假设 x x x 同时存在两个负元 x 1 x_{1} x1 与 x 2 x_{2} x2，则：

x 1 = x 1 + 0 = x 1 + ( x + x 2 ) = ( x 1 + x ) + x 2 = 0 + x 2 = x 2 . x_{1}= x_{1} + 0 = x_{1} + (x+x_{2}) = (x_{1} + x) + x_{2} = 0 + x_{2} = x_{2}. x1=x1+0=x1+(x+x2)=(x1+x)+x2=0+x2=x2.

3：代数方程 a + x = b a+x = b a+x=b 在 R \mathbb{R} R 中有唯一解 x = b + ( − a ) = b − a x = b+ (-a)=b-a x=b+(−a)=b−a。

证明：

\quad a ∈ R a\in \mathbb{R} a∈R，则 ∃ ! \exists ! ∃! 负元 − a -a −a. 于是：

( a + x = b ) ⟹ ( ( − a ) + ( a + x ) = ( − a ) + b ) ⟹ ( ( ( − a ) + a ) + x = ( − a ) + b ) ⟹ ( 0 + x = b + ( − a ) ) ⟹ ( x = b + ( − a ) ) \begin{aligned} (a+x = b) &\Longrightarrow ((-a) + (a + x) = (-a) + b)\\ &\Longrightarrow (((-a)+a) + x = (-a)+b)\\ &\Longrightarrow (0+x=b + (-a))\\ &\Longrightarrow (x = b+ (-a)) \end{aligned} (a+x=b)⟹((−a)+(a+x)=(−a)+b)⟹(((−a)+a)+x=(−a)+b)⟹(0+x=b+(−a))⟹(x=b+(−a))

\quad 注意，目前为止，我们都还没有定义减法，现在出于简化符号的目的，将减法作为一个“记号”引入：

b + ( − a ) : = b − a . b+ (-a):=b-a. b+(−a):=b−a.

\quad 作业：乘法公理的推论：

R \mathbb{R} R 中存在唯一的 1 1 1.

∀ x ∈ R − { 0 } \forall ~ x \in \mathbb{R}-\{0\} ∀ x∈R−{0}，存在唯一的逆元 x − 1 x^{-1} x−1.

∀ a ∈ R − { 0 } \forall a \in \mathbb{R}-\{0\} ∀a∈R−{0}， a ⋅ x = b a\cdot x=b a⋅x=b 存在唯一的解 x = a − 1 ⋅ b x = a^{-1}\cdot b x=a−1⋅b.

二、乘法公理的推论

1： R \mathbb{R} R 中存在唯一的单位元 1 1 1.

证明：反证法。

\quad 假设 R \mathbb{R} R 中同时存在两个单位元 1 x , 1 y 1_{x},1_{y} 1x,1y，则：

1 x = 1 x ⋅ 1 y = 1 y ⋅ 1 x = 1 y . 1_{x} = 1_{x} \cdot 1_{y} = 1_{y} \cdot 1_{x} = 1_{y}. 1x=1x⋅1y=1y⋅1x=1y.

2：对于任意的 x ∈ R − { 0 } x\in\mathbb{R} - \{0\} x∈R−{0}，存在其唯一的逆元 x − 1 ∈ R − { 0 } x^{-1}\in \mathbb{R} - \{0\} x−1∈R−{0}.

证明：反证法。

\quad 假设 R − { 0 } \mathbb{R}-\{0\} R−{0} 中同时存在 x x x 的两个逆元 y , z y,z y,z，则：

y = y ⋅ 1 = y ⋅ ( x ⋅ z ) = ( y ⋅ x ) ⋅ z = 1 ⋅ z = z . y = y \cdot 1 = y \cdot (x\cdot z) = (y \cdot x) \cdot z = 1\cdot z = z. y=y⋅1=y⋅(x⋅z)=(y⋅x)⋅z=1⋅z=z.

3：代数方程 a ⋅ x = b a\cdot x = b a⋅x=b 在 R − { 0 } \mathbb{R}- \{0\} R−{0} 中存在唯一解 x = b ⋅ a − 1 = a − 1 ⋅ b x = b\cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot b x=b⋅a−1=a−1⋅b.

证明：

( a ⋅ x = b ) ⟹ ( a − 1 ⋅ ( a ⋅ x ) = a − 1 ⋅ b ) ⟹ ( ( a − 1 ⋅ a ) ⋅ x = a − 1 ⋅ b ) ⟹ ( x = a − 1 ⋅ b ) \begin{aligned} (a\cdot x = b) &\Longrightarrow (a^{-1}\cdot (a\cdot x) = a^{-1}\cdot b)\\ &\Longrightarrow ((a^{-1}\cdot a)\cdot x = a^{-1}\cdot b)\\ &\Longrightarrow (x = a^{-1}\cdot b) \end{aligned} (a⋅x=b)⟹(a−1⋅(a⋅x)=a−1⋅b)⟹((a−1⋅a)⋅x=a−1⋅b)⟹(x=a−1⋅b)

\quad 思考：按照前面相似的逻辑，是否可以将除法作为“记号”引入？

b ⋅ a − 1 = b ÷ a . b \cdot a^{-1} = b \div a. b⋅a−1=b÷a.

三、加法公理与乘法公理联系的推论

1：对于任意的 x ∈ R x\in \mathbb{R} x∈R， x ⋅ 0 = 0 ⋅ x = 0 x\cdot 0 = 0 \cdot x = 0 x⋅0=0⋅x=0.

证明：

( x ⋅ 0 ) = ( x ⋅ ( 0 + 0 ) ) = ( x ⋅ 0 + x ⋅ 0 ) ⟹ ( x ⋅ 0 + ( − x ⋅ 0 ) = x ⋅ 0 + x ⋅ 0 + ( − x ⋅ 0 ) ) ⟹ ( 0 = x ⋅ 0 ) ⟹ ( x ⋅ 0 = 0 ) \begin{aligned} &(x \cdot 0) = (x \cdot (0 + 0)) = (x\cdot 0 + x \cdot 0) \\ \Longrightarrow &(x\cdot 0 + (-x\cdot 0) = x \cdot 0 + x\cdot 0 + (-x \cdot 0))\\ \Longrightarrow &(0 = x\cdot 0)\\ \Longrightarrow &(x\cdot 0 = 0) \end{aligned} ⟹⟹⟹(x⋅0)=(x⋅(0+0))=(x⋅0+x⋅0)(x⋅0+(−x⋅0)=x⋅0+x⋅0+(−x⋅0))(0=x⋅0)(x⋅0=0)

\quad 有趣的是，1 虽然是个关于乘法的结论，但在证明过程中，利用了加法！

\quad 由 1 可得推论：若 x ∈ R − { 0 } x \in \mathbb{R}-\{0\} x∈R−{0}，则 x − 1 ∈ R − { 0 } x^{-1} \in \mathbb{R} -\{0\} x−1∈R−{0}.

证明：反证法。

\quad 若 x − 1 = 0 x^{-1} = 0 x−1=0，则由 1 可得： x ⋅ 0 = x ⋅ x − 1 = 0 x\cdot 0 = x \cdot x^{-1} = 0 x⋅0=x⋅x−1=0，产生矛盾。

2： ( x ⋅ y = 0 ) ⟹ ( x = 0 ) ∨ ( y = 0 ) (x\cdot y = 0) \Longrightarrow (x = 0) \lor (y=0) (x⋅y=0)⟹(x=0)∨(y=0).

证明：

\quad 若 y = 0 y = 0 y=0，则命题成立。

\quad 若 y ≠ 0 y\ne 0 y=0，则由 1 推论可知， y − 1 ≠ 0 y^{-1} \ne 0 y−1=0，从而

( x ⋅ y = 0 ) ⟹ ( x ⋅ y ⋅ y − 1 = 0 ⋅ y − 1 ) ⟹ ( x = 0 ) \begin{aligned} (x \cdot y = 0) &\Longrightarrow (x\cdot y \cdot y^{-1} = 0 \cdot y^{-1})\\ &\Longrightarrow (x = 0) \end{aligned} (x⋅y=0)⟹(x⋅y⋅y−1=0⋅y−1)⟹(x=0)

3： ∀ x ∈ R , − x = ( − 1 ) ⋅ x \forall ~ x \in \mathbb{R},-x = (-1)\cdot x ∀ x∈R,−x=(−1)⋅x.

证明：

\quad 显然， − x -x −x 是 x x x 的负元，由负元的唯一性可知，只需证明 ( − 1 ) ⋅ x (-1)\cdot x (−1)⋅x 也是 x x x 的负元。事实上，

x + ( − 1 ) ⋅ x = 1 ⋅ x + ( − 1 ) ⋅ x = ( 1 + ( − 1 ) ) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0. x + (-1) \cdot x = 1\cdot x + (-1)\cdot x = (1 + (-1))\cdot x = 0\cdot x = 0. x+(−1)⋅x=1⋅x+(−1)⋅x=(1+(−1))⋅x=0⋅x=0.

4： ∀ x ∈ R , ( − 1 ) ⋅ ( − x ) = x \forall ~ x \in \mathbb{R},(-1)\cdot (-x) = x ∀ x∈R,(−1)⋅(−x)=x.

证明：

\quad 显然， x x x 是 − x -x −x 的负元，由负元的唯一性，只需证明 ( − 1 ) ⋅ ( − x ) (-1)\cdot (-x) (−1)⋅(−x) 也是 − x -x −x 的负元。事实上，

( − 1 ) ⋅ ( − x ) + ( − x ) = ( − 1 ) ⋅ ( − x ) + 1 ⋅ ( − x ) = ( ( − 1 ) + 1 ) ⋅ ( − x ) = 0 ⋅ ( − x ) = 0. (-1)\cdot (-x) + (-x) = (-1)\cdot (-x) + 1 \cdot (-x) = ((-1)+1) \cdot (-x) = 0 \cdot (-x) = 0. (−1)⋅(−x)+(−x)=(−1)⋅(−x)+1⋅(−x)=((−1)+1)⋅(−x)=0⋅(−x)=0.

5： ∀ x ∈ R , ( − x ) ⋅ ( − x ) = x ⋅ x \forall ~ x\in \mathbb{R},(-x)\cdot(-x) = x\cdot x ∀ x∈R,(−x)⋅(−x)=x⋅x.

证明：

( − x ) ⋅ ( − x ) = ( − 1 ) ⋅ x ⋅ ( − x ) = x ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − x ) = x ⋅ ( ( − 1 ) ⋅ ( − x ) ) = x ⋅ x . \begin{aligned} (-x)\cdot (-x) &= (-1)\cdot x \cdot (-x) \\ &=x \cdot (-1) \cdot (-x) \\ & = x\cdot ((-1)\cdot (-x)) \\ & = x\cdot x. \end{aligned} (−x)⋅(−x)=(−1)⋅x⋅(−x)=x⋅(−1)⋅(−x)=x⋅((−1)⋅(−x))=x⋅x.

四、序公理的推论

\quad 首先，说明一下，什么是严格不等式。

严格不等式：若 x ≤ y x\le y x≤y 且 x ≠ y x \ne y x=y，则记 x < y x<y x<y，称为严格不等式。

1： ∀ x , y ∈ R , ( x < y ) ∨ ( x = y ) ∨ ( y < x ) \forall ~ x,y \in \mathbb{R},(x<y)\lor (x= y)\lor (y<x) ∀ x,y∈R,(x<y)∨(x=y)∨(y<x).

证明：

\quad 由序公理： ( x ≤ y ) ∨ ( y ≤ x ) (x\le y)\lor (y \le x) (x≤y)∨(y≤x)，若 x = y x = y x=y，则结论成立；若 x ≠ y x\ne y x=y，则 ( x < y ) ∨ ( y < x ) (x<y)\lor(y<x) (x<y)∨(y<x).

2： ∀ x , y , z ∈ R , ( x ≤ y ) ∧ ( y < z ) ⟹ ( x < z ) , ( x < y ) ∧ ( y ≤ z ) ⟹ ( x < z ) \forall ~ x,y,z \in \mathbb{R},(x\le y)\land(y<z)\Longrightarrow(x<z),(x< y)\land(y\le z)\Longrightarrow(x<z) ∀ x,y,z∈R,(x≤y)∧(y<z)⟹(x<z),(x<y)∧(y≤z)⟹(x<z).

证明：

\quad 以第二个结论为例，

( x < y ) ∧ ( y ≤ z ) ⟹ ( x ≤ y ) ∧ ( y ≤ z ) ⟹ ( x ≤ z ) \begin{aligned} (x<y) \land(y \le z) &\Longrightarrow (x \le y) \land(y \le z) \\ &\Longrightarrow (x\le z) \end{aligned} (x<y)∧(y≤z)⟹(x≤y)∧(y≤z)⟹(x≤z)
再利用反证法。若 x = z x = z x=z，则

( x < y ) ∧ ( y ≤ z ) ⟹ ( x < y ) ∧ ( y ≤ x ) (x<y) \land(y \le z) \Longrightarrow (x <y) \land (y \le x) (x<y)∧(y≤z)⟹(x<y)∧(y≤x)

从而产生矛盾。因此 x ≠ z x\ne z x=z.

五、加法公理与序公理联系的推论

1： ( x > y ) ⟹ ( x + z > y + z ) (x>y)\Longrightarrow(x+z>y+z) (x>y)⟹(x+z>y+z).

证明：

\quad 由序公理， ( x > y ) ⟹ ( x ≥ y ) ⟹ ( x + z ≥ y + z ) (x>y)\Longrightarrow (x \ge y)\Longrightarrow (x+z \ge y+z) (x>y)⟹(x≥y)⟹(x+z≥y+z). 于是只要证明 x + z ≠ y + z x+z \ne y+z x+z=y+z.

\quad 反证法。若 x + z = y + z x+z = y +z x+z=y+z，则线性方程 x + z = ( y + z ) x + z = (y+z) x+z=(y+z) 有唯一解：

x = ( y + z ) + ( − z ) = y + ( z + ( − z ) ) = y + 0 = y x = (y+z)+ (-z) = y+ (z + (-z)) = y + 0 =y x=(y+z)+(−z)=y+(z+(−z))=y+0=y

与 x > y x>y x>y 矛盾。

2： ( x > 0 ) ⟹ ( − x < 0 ) (x>0)\Longrightarrow(-x<0) (x>0)⟹(−x<0).

证明：

( x > 0 ) ⟹ ( x + ( − x ) > − x ) ⟹ ( 0 > − x ) \begin{aligned} (x>0)&\Longrightarrow (x+ (-x)>-x)\\ &\Longrightarrow (0>-x) \end{aligned} (x>0)⟹(x+(−x)>−x)⟹(0>−x)

3： ( x > y ) ∧ ( z ≥ w ) ⟹ ( x + z > y + w ) (x>y)\land(z\ge w)\Longrightarrow (x+z >y+w) (x>y)∧(z≥w)⟹(x+z>y+w).

4： ( x ≥ y ) ∧ ( z > w ) ⟹ ( x + z > y + w ) (x\ge y)\land(z >w)\Longrightarrow (x+z>y+w) (x≥y)∧(z>w)⟹(x+z>y+w).

\quad 只证 1,2；3,4 自证。

六、乘法公理与序公理联系的推论

1： ( x > 0 ) ∧ ( y > 0 ) ⟹ ( x ⋅ y > 0 ) (x>0)\land (y>0)\Longrightarrow (x\cdot y>0) (x>0)∧(y>0)⟹(x⋅y>0).

证明：

\quad 由序公理与乘法公理的附加公理，

( x > 0 ) ∧ ( y > 0 ) ⟹ ( x ≥ 0 ) ∧ ( y ≥ 0 ) ⟹ ( x ⋅ y ≥ 0 ) (x>0)\land (y>0)\Longrightarrow(x\ge 0)\land (y\ge 0)\Longrightarrow (x\cdot y \ge 0) (x>0)∧(y>0)⟹(x≥0)∧(y≥0)⟹(x⋅y≥0)

因此只需证明 x ⋅ y ≠ 0 x\cdot y\ne 0 x⋅y=0. 反证法，若 x ⋅ y = 0 x\cdot y=0 x⋅y=0，则由前面的结论

( x ⋅ y = 0 ) ⟹ ( x = 0 ) ∨ ( y = 0 ) . (x\cdot y = 0)\Longrightarrow (x=0)\lor (y=0). (x⋅y=0)⟹(x=0)∨(y=0).

从而产生矛盾。

2： ( x < 0 ) ∧ ( y < 0 ) ⟹ ( x ⋅ y > 0 ) (x<0)\land (y<0)\Longrightarrow (x\cdot y>0) (x<0)∧(y<0)⟹(x⋅y>0).

2 与 3 类似，我们证明3.

3： ( x > 0 ) ∧ ( y < 0 ) ⟹ ( x ⋅ y < 0 ) (x>0)\land (y<0)\Longrightarrow (x \cdot y<0) (x>0)∧(y<0)⟹(x⋅y<0).

证明：

( x > 0 ) ∧ ( y < 0 ) ⟹ ( x > 0 ) ∧ ( − y > 0 ) ⟹ ( x ⋅ ( − y ) > 0 ) ⟹ ( x ⋅ ( − 1 ) ⋅ y > 0 ) ⟹ ( ( x ⋅ ( − 1 ) ) ⋅ y > 0 ) ⟹ ( ( ( − 1 ) ⋅ x ) ⋅ y > 0 ) ⟹ ( ( − 1 ) ⋅ ( x ⋅ y ) > 0 ) ⟹ ( − ( x ⋅ y ) > 0 ) ⟹ ( x ⋅ y < 0 ) . \begin{aligned} (x>0)\land (y<0) &\Longrightarrow (x>0)\land (-y>0)\\ &\Longrightarrow (x\cdot (-y)>0) \\ &\Longrightarrow (x\cdot (-1)\cdot y >0) \\ &\Longrightarrow ((x\cdot(-1))\cdot y >0) \\ &\Longrightarrow (((-1)\cdot x)\cdot y >0) \\ &\Longrightarrow ((-1)\cdot(x\cdot y)>0)\\ &\Longrightarrow (-(x\cdot y)>0)\\ &\Longrightarrow (x\cdot y<0). \end{aligned} (x>0)∧(y<0)⟹(x>0)∧(−y>0)⟹(x⋅(−y)>0)⟹(x⋅(−1)⋅y>0)⟹((x⋅(−1))⋅y>0)⟹(((−1)⋅x)⋅y>0)⟹((−1)⋅(x⋅y)>0)⟹(−(x⋅y)>0)⟹(x⋅y<0).

4： ( x > y ) ∧ ( z > 0 ) ⟹ ( x ⋅ z > y ⋅ z ) (x>y)\land(z>0)\Longrightarrow (x\cdot z > y\cdot z) (x>y)∧(z>0)⟹(x⋅z>y⋅z).

证明：

( x > y ) ∧ ( z > 0 ) ⟹ ( x − y > 0 ) ∧ ( z > 0 ) ⟹ ( ( x − y ) ⋅ z > 0 ) ⟹ ( x ⋅ z − y ⋅ z > 0 ) ⟹ ( x ⋅ z > y ⋅ z ) . \begin{aligned} (x>y)\land (z>0) &\Longrightarrow (x-y>0) \land (z>0) \\ &\Longrightarrow ((x-y)\cdot z >0)\\ &\Longrightarrow (x\cdot z - y \cdot z >0) \\ &\Longrightarrow (x\cdot z >y \cdot z). \end{aligned} (x>y)∧(z>0)⟹(x−y>0)∧(z>0)⟹((x−y)⋅z>0)⟹(x⋅z−y⋅z>0)⟹(x⋅z>y⋅z).

4 与 5 类似，我们证明 4.

5： ( x > y ) ∧ ( z < 0 ) ⟹ ( x ⋅ z < y ⋅ z ) (x>y)\land(z<0)\Longrightarrow (x\cdot z<y\cdot z) (x>y)∧(z<0)⟹(x⋅z<y⋅z).

七、加法公理、乘法公理与序公理的推论

1： 1 > 0 1>0 1>0.

证明：

\quad 由序公理， ( x > y ) ∨ ( x = y ) ∨ ( x < y ) (x>y)\lor(x=y)\lor(x<y) (x>y)∨(x=y)∨(x<y).

\quad 显然 1 ≠ 0 1\ne 0 1=0，我们证明： 1 > 0 1>0 1>0. 反证法。假设 1 < 0 1<0 1<0，于是

( 1 < 0 ) ∧ ( 1 < 0 ) ⟹ ( 1 ⋅ 1 > 0 ) ⟹ ( 1 > 0 ) . (1<0)\land (1<0) \Longrightarrow (1\cdot 1 >0) \Longrightarrow (1>0). (1<0)∧(1<0)⟹(1⋅1>0)⟹(1>0).

从而产生矛盾。

2： ( 0 < x ) ⟹ ( x − 1 ) > 0 , ( 0 < x < y ) ⟹ ( 0 < y − 1 < x − 1 ) (0<x)\Longrightarrow (x^{-1})>0,~ (0<x<y) \Longrightarrow (0<y^{-1}<x^{-1}) (0<x)⟹(x−1)>0, (0<x<y)⟹(0<y−1<x−1).

证明：

\quad 反证法。假设 x − 1 < 0 x^{-1}<0 x−1<0，则

( 0 < x ) ∧ ( x − 1 < 0 ) ⟹ ( x ⋅ x − 1 < 0 ) ⟹ ( 1 < 0 ) . (0<x)\land(x^{-1}<0) \Longrightarrow (x\cdot x^{-1}<0)\Longrightarrow (1<0). (0<x)∧(x−1<0)⟹(x⋅x−1<0)⟹(1<0).

从而产生矛盾。

\quad 显然 y ≠ 0 y\ne 0 y=0，否则 x = 0 x=0 x=0，矛盾。于是 ( y > 0 ) ⟹ ( y − 1 > 0 ) (y>0)\Longrightarrow (y^{-1}>0) (y>0)⟹(y−1>0)，从而

( x < y ) ∧ ( y − 1 > 0 ) ⟹ ( x ⋅ y − 1 < y ⋅ y − 1 ) ⟹ ( x ⋅ y < 1 ) ⟹ ( x − 1 ⋅ x ⋅ y − 1 < x − 1 ) ⟹ ( y − 1 < x − 1 ) \begin{aligned} (x<y) \land (y^{-1}>0)&\Longrightarrow (x\cdot y^{-1} <y\cdot y^{-1})\\ &\Longrightarrow (x\cdot y <1)\\ &\Longrightarrow (x^{-1}\cdot x\cdot y^{-1}<x^{-1})\\ &\Longrightarrow (y^{-1}<x^{-1}) \end{aligned} (x<y)∧(y−1>0)⟹(x⋅y−1<y⋅y−1)⟹(x⋅y<1)⟹(x−1⋅x⋅y−1<x−1)⟹(y−1<x−1)

\quad 目前为止，实数公理以及其基本推论介绍完毕。下面做一个总结。

Def. 正数：大于零的数就是正数。

Ex： 1 1 1 是正数。

Ex：若 x x x 是正数，则 x − 1 x^{-1} x−1 也是正数。

Def：小于零的数称为负数。

Ex： 1 1 1 的负元是负数。

参考：

张平. 数学分析课程.

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实数集的基本公理

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二、乘法公理的推论

三、加法公理与乘法公理联系的推论

四、序公理的推论

五、加法公理与序公理联系的推论

六、乘法公理与序公理联系的推论

七、加法公理、乘法公理与序公理的推论

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