实数系

文章目录

一、数系
- 1. 概念
- 2. 数系的扩充
二、性质
- 1. 数系的性质
三、无理数存在的证明
- 1. 证明 2 \sqrt{2} 2 不是有理数
- 2. 证明 3 \sqrt{3} 3 不是有理数
- 3. 推广

一、数系

1. 概念

数学分析讨论实变量间的函数关系，变量的取值范围限制在实数集合内，故首先我们需要了解实数集合 R R R 的一些基本概念与性质。

2. 数系的扩充

若一个集合中的任意两个元素进行了某种运算，其结果仍属于这个集合，则称该集合对这种运算是封闭的。

很明显，首先对于自然数集合 N N N，任意两个元素 m ∈ N , n ∈ N m \in N,\;n \in N m∈N,n∈N，我们可以知道， m , n m,\;n m,n 的和与积仍在自然数集合 N N N 中，但是对于减法，若 m < n m<n m<n，则有 m − n < 0 m-n<0 m−n<0，故 { m − n } ⊄ N \{m-n\}\not\sub N {m−n}⊂N ，因此，我们需要对有理数集进行扩充，故引入了整数集 Z Z Z。

对于引入整数集合 Z Z Z，我们解决了 { m − n } \{m-n\} {m−n} 不存在于现有集合的问题，整数集合 Z Z Z 对加、减、乘运算封闭，及对于任意 m , n ∈ Z m,n\in{Z} m,n∈Z 其和、差、积必为整数： { m ± n , m ⋅ n } ⊆ Z \{m\pm{n},\;m\cdot{n}\}\sube{Z} {m±n,m⋅n}⊆Z 。但整数集合 Z Z Z 对于除法运算是不封闭的，故又引入了有理数集 Q Q Q。

对于有理数 Q Q Q，我们可以这样表示：
Q = { x ∣ x = p q , p ∈ N + , q ∈ Z } Q = \{x|x=\frac{p}{q},\;\;p\in{N^+},q\in{Z}\} Q={x∣x=qp,p∈N+,q∈Z}
对于如上定义，很明显，有理数集 Q Q Q对于加、减、乘、除运算都是封闭的。

二、性质

1. 数系的性质

从几何的角度来说，取一水平直线，确定原点 O O O，再在 O O O右方任取一点 A A A，以线段 O A OA OA为单位长度，就建立了一个坐标轴。其中，整数集合 Z Z Z 中的每一个元素都可以在坐标轴中找到自己的对应点，这些点我们通常称其为 整数点，而相邻整数点之间的间隔为1，及整数集元素的最小间隔为1，故我们称整数系具有 离散性。

显然，有理数集 Q Q Q中的任意一点 p q , p ∈ N + , q ∈ Z \frac{p}{q}, p\in{N^+},q\in{Z} qp,p∈N+,q∈Z，也可以在坐标轴中找到自己的位置，这些点我们通常称为 有理点，易证明，在坐标轴的任意一段长度大于 0 0 0 的线段上，存在无穷多个有理点，即，坐标轴上不存在有理点的 真空地带，因此，我们称有理数系 Q Q Q具有 稠密性。（这个概念的详细讲解据说是在实变函数中，笔者学艺不精，暂时未接触到实变函数，故不在此过多说明）。

既然有理数系 Q Q Q 是稠密的，其就是一个完美的数系了吗？

其实不然，若用 c c c 表示边长为 1 1 1的正方形的对角线的长度，则 c c c 无法用有理数来表示( 2 \sqrt{2} 2 ，稍后详细证明)。

因此，有理点虽然在坐标轴上具有稠密性，但其中仍有间隙，并没有布满整条坐标轴，因有理数都可以表示成 p q \frac{p}{q} qp 的形式，则有理数都可以用有限小数和无限循环表示，则其空隙，及所有的无限不循环小数称之为 无理数，将全体有理数与无理数的集合我们称之为实数，实数集合表示为 R R R：
R = { x ∣ x 是有理数或无理数 } R=\{x|x是有理数或无理数\} R={x∣x是有理数或无理数}
全体无理数对应的点称为 无理点，无理点填补了有理点在坐标轴中的所有空隙，即实数布满了整个数周，每个实数都可以在数轴中找到自己的对应点，而数轴中的每个点又可以通过自己的坐标表示 唯一一个实数，实数集合 R R R 的这一性质称之为实数系 R R R 的 连续性，为了强调实数系所特有的这种连续性， R R R 又称为 实数连续统，而表达实数全体的坐标轴又称为数轴。

三、无理数存在的证明

1. 证明 2 \sqrt{2} 2 不是有理数

对于无理数的证明，我们通常采取反证法，即如果 x ∈ Q x\in Q x∈Q，则结论是否与定义相冲突，

若 2 \sqrt{2} 2 是有理数，则设
2 = p q (有理数的定义) 且 p , q 互质 ( 互素 ) 即 p , q 的最大公因数为 1 记为 g c d ( p , q ) \sqrt{2} = \frac{p}{q}\text{(有理数的定义)} \\且 \\p,q互质(互素) \\即 \\p,q的最大公因数为1 \\记为gcd(p,q) 2 =qp(有理数的定义)且p,q互质(互素)即p,q的最大公因数为1记为gcd(p,q)
即 p , q p,q p,q是最简分数

根据上述描述，有
2 q = p 2 q 2 = p 2 \sqrt{2}q=p \\ 2q^2=p^2 2 q=p2q2=p2

故 p 是偶数 p是偶数 p是偶数
设 p = 2 k ( p 是偶数 ) 4 k 2 = 2 q 2 2 k 2 = q 2 设 \\p = 2k(p是偶数) \\4k^2=2q^2 \\2k^2=q^2 设p=2k(p是偶数)4k2=2q22k2=q2

同理可得， q 也是偶数 q也是偶数 q也是偶数， p , q 都是偶数，则 p , q 不互质 ( 有最小公因数 2 , 违反最大公因数为 1 的前提 ) p,q都是偶数，则p,q不互质(有最小公因数2,违反最大公因数为1的前提) p,q都是偶数，则p,q不互质(有最小公因数2,违反最大公因数为1的前提)

因此，若 2 \sqrt{2} 2 为有理数，则不存在 2 = p q , g c d ( p , q ) = 1 \sqrt{2}=\frac{p}{q},\;gcd(p,q)=1 2 =qp,gcd(p,q)=1，因此 2 不是有理数 \sqrt{2}不是有理数 2 不是有理数。

2. 证明 3 \sqrt{3} 3 不是有理数

同理，若 3 \sqrt{3} 3 是有理数，我们可设
3 = p q g c d ( p , q ) = 1 p ∈ N , q ∈ Z \sqrt{3}=\frac{p}{q} \\gcd(p, q)=1 \\p\in{N},q\in{Z} 3 =qpgcd(p,q)=1p∈N,q∈Z

根据上述描述，我们可得
3 q 2 = p 2 3q^2=p^2 \\ 3q2=p2

由于3是素数，故 p p p是3的倍数
设 p = 3 t 则有 3 q 2 = 9 t 2 q 2 = 3 t 2 设p=3t \\ 则有 3q^2=9t^2 \\ q^2=3t^2 设p=3t则有3q2=9t2q2=3t2

同理，我们可得， q q q 也是3的倍数

故 p , q p,q p,q 有最小公因数3，与 g c d ( p , 1 ) gcd(p,1) gcd(p,1)相悖，因此 3 \sqrt{3} 3 不是有理数

3. 推广

用此方法，我们可以证明出所有素数的开方都是无理数，甚至于，利用此证明的本质内容，我们可以推论出：

1. 非完全平方数的开方是无理数
2. 非立方数的开立方是无理数
3. 一般的，非n次方数的开n次方是无理数

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2.1.数列极限——实数系

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