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1.向量
- 1.简介
- - 1.笛卡尔坐标系
  - 2.向量
  - 3.标量
- 2.向量基本运算
- - 1.向量加法
  - 2. 向量数乘
  - 3. 向量内积
  - 4.向量投影
- 3.范数
- - 1.L-P Norm
  - 2.L-0 Norm
  - 3.L-1 Norm
  - 4.L-2 Norm
  - 5.L-infinity Norm
2.特征值、特征向量、矩阵相似
- 1.特征值与特征向量
- 2.矩阵相似
- 3.定理
4.矩阵相似对角化
- 1.定理
- 2.例题
- - 例题1
  - 例题2
5.总结
参考

1.向量

1.简介

1.笛卡尔坐标系

相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴
互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡
尔斜角坐标系。

2.向量

具有大小和方向的量。

3.标量

只有数值大小，没有方向的量。

2.向量基本运算

设nnn维向量α=[a1,a2,⋯,an]T\alpha=\left[a_1,a_2,\cdots,a_n\right]^Tα=[a1,a2,⋯,an]T，β=[b1,b2,⋯,bn]T\beta=\left[b_1,b_2,\cdots,b_n\right]^Tβ=[b1,b2,⋯,bn]T，则

1.向量加法

直角坐标系中向量的加减就是对应坐标分量的加减。α+β=[a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn]\alpha+\beta=\left[a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n\right]α+β=[a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn]

2. 向量数乘

直角坐标系中向量的数乘就是向量坐标的分量分别乘该数。kα=[ka1,ka2,⋯,kan]Tk\alpha=\left[ka_1,ka_2,\cdots,ka_n\right]^Tkα=[ka1,ka2,⋯,kan]T

3. 向量内积

两个向量的内积为向量的模长的乘积再乘两个向量夹角的余弦值。内积结果为一个数。
公式：[α,β]=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+⋯+anbn\left[\alpha,\beta\right]=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n[α,β]=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+⋯+anbn
正交： [α,β]=0\left[\alpha,\beta\right]=0[α,β]=0，即a1b1+a2b2+⋯+anbn=0a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=0a1b1+a2b2+⋯+anbn=0 ,称为α\alphaα与β\betaβ正交，记为α⊥β\alpha\perp\betaα⊥β.
单位向量：模长为1的向量。Vnormalized=α∥α∥V_{normalized}=\frac\alpha{\left\|\alpha\right\|}Vnormalized=∥α∥α
零向量：模长为0，方向任意的向量。αTα=0⇔α=0\alpha^T\alpha=0\Leftrightarrow\alpha=0αTα=0⇔α=0
不等式：[x,y]2⩽[x,x][y,y]{\lbrack x,y\rbrack}^{{}_2}\leqslant\lbrack x,x\rbrack\lbrack y,y\rbrack[x,y]2⩽[x,x][y,y]

4.向量投影

设两个非零向量a与b的夹角为θ，则将|b|∙cosθ 叫做向量b在向量a方向上的投影或称标投影。
∥v→∥∥=∥v→∥×cos⁡θ=v→⋅a→单\left\|\overrightarrow v^\parallel\right\|=\left\|\overrightarrow v\right\|\times\cos\theta=\overrightarrow v\cdot{\overrightarrow a}_单∥∥∥v∥∥∥∥=∥∥∥v∥∥∥×cosθ=v⋅a单

3.范数

1.L-P Norm

Lp=∥x∥p=∑i=1nxippL_p={\left\|x\right\|}_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nx_i^p}Lp=∥x∥p=p∑i=1nxip

2.L-0 Norm

含义：指的是向量中非0元素的个数
公式：∥x∥0=#(i∣xi≠0){\left\|x\right\|}_0=\#(i\vert x_i\neq0)∥x∥0=#(i∣xi=0)

3.L-1 Norm

含义：向量x中非零元素的绝对值之和
公式：L1=∥x∥1=∑i=1n∣xi∣L_1={\left\|x\right\|}_1=\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|L1=∥x∥1=∑i=1n∣xi∣
其他名词:曼哈顿距离，最小绝对误差

4.L-2 Norm

含义：表示向量元素的平方和再开平方
公式：L2=∥x∥2=∑i=1nxi2L_2={\left\|x\right\|}_2=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}L2=∥x∥2=∑i=1nxi2
三角不等式：∥x+y∥⩽∥x∥+∥y∥\left\|x+y\right\|\leqslant\left\|x\right\|+\left\|y\right\|∥x+y∥⩽∥x∥+∥y∥
其他名词:欧氏距离

5.L-infinity Norm

含义：等于向量中最大元素的绝对值。
公式：L∞=∥x∥∞=max(∣xi∣)L_\infty={\left\|x\right\|}_\infty=max\left(\left|x_i\right|\right)L∞=∥x∥∞=max(∣xi∣)

2.特征值、特征向量、矩阵相似

1.特征值与特征向量

设AAA是nnn阶矩阵，如果存在一个数λ\lambdaλ及非零的nnn维列向量α\alphaα，使得Aα=λαA\alpha=\lambda\alphaAα=λα成立，则称λ\lambdaλ是矩阵AAA的一个特征值，称非零向量α\alphaα是矩阵AAA属于特征值α\alphaα的一个特征向量。
设A=[aij]A=[a_{ij}]A=[aij]为一个nnn阶矩阵，则行列式
∣λE−A∣=∣λ−a11−a12⋯a1n−a21λ−a22⋯a2n⋮⋮⋮−an1−an2⋯λ−ann∣\left|\lambda E-A\right|=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&a_{1n}\\-a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\-a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}\end{vmatrix} ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣λ−a11−a21⋮−an1−a12λ−a22⋮−an2⋯⋯⋯a1na2n⋮λ−ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣
称为矩阵AAA的特征多项式，∣λE−A∣=0\left|\lambda E-A\right|=0∣λE−A∣=0称为AAA的特征方程.

2.矩阵相似

设AAA和BBB都是nnn阶矩阵，如果存在可逆矩阵PPP使得P−1AP=B,P^{-1}AP=B,P−1AP=B,称矩阵AAA和BBB相似，记作A∼BA\sim BA∼B.

3.定理

4.矩阵相似对角化

1.定理

2.例题

例题1

例题2

5.总结

参考

1.范数（norm）几种范数的简单介绍
2.线性代数辅导讲义

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