线性代数知识回顾:矩阵的秩,矩阵的范数,矩阵的条件数,矩阵的特征值和特征向量
一.矩阵的秩
1.定义:
矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩
补充:
线性代数中的线性相关是指:
如果对于向量α1,α2,…,αn,
存在一组不全为0的实数k1、k2、…、kn,
使得:k1·α1+k2·α2+…kn·αn=0成立,
那么就说α1,α2,…,αn线性相关;线性代数中的线性无关是指:
如果对于向量α1,α2,…,αn,
只有当k1=k2=…=kn=0时,
才能使k1·α1+k2·α2+…kn·αn=0成立,
那么就说α1,α2,…,αn线性无关
2.矩阵的秩的求法
MATLAB中:rank(A) 表示求矩阵A的秩。
实际计算中:一般当矩阵阶数不是很大时,我们可以采用对矩阵做初等变换化简为梯形矩阵求秩。
例:矩阵A =
1 3 2-3 2 14 1 2
求矩阵的秩
通过初等行变换,将矩阵化为上阶梯型矩阵:
1 3 20 11 70 0 1
非零行数为3,那么矩阵的秩为3。
使用MATLAB可以得到同样的结果。
除此之外,还有很多种矩阵求秩的方法:
https://zhidao.baidu.com/question/1771639702174299740.html
二.矩阵的范数
1.矩阵的范数的定义和求法
https://zhuanlan.zhihu.com/p/35897775
- 矩阵A的1——范数:矩阵列元素绝对值之和的最大值
∣∣A∣∣1=MAXj=1n{∣∑i=1naij∣}||A||_1 = MAX_{j=1}^{n}\{|\sum_{i=1}^n{{a_i}_j}|\} ∣∣A∣∣1=MAXj=1n{∣i=1∑naij∣}
- 矩阵A的2——范数:矩阵
ATAA^TA ATA
的最大特征值,又称为谱范数
∣∣A∣∣2=λ1||A||_2=\sqrtλ_1 ∣∣A∣∣2=λ1
矩阵A的∞——范数:所有矩阵行元素绝对值之和的最大值
∣∣A∣∣∞=MAXi=1n{∑j−1n∣aij∣}||A||_∞=MAX_{i=1}^n\{\sum_{j-1}^n|a_{i{j}}|\} ∣∣A∣∣∞=MAXi=1n{j−1∑n∣aij∣}
MATLAB中,求向量范数的函数为:norm(V)或者norm(V,2):计算向量V的2——范数
norm(V,1):计算向量V的1——范数
norm(V,inf):计算向量V的∞——范数
三.矩阵的条件数
1.矩阵的条件数的定义
是判断矩阵病态与否的一种度量,条件数越大矩阵越病态。
矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积
条件数越接近于1,矩阵的性能越好,反之矩阵的性能越差
2.矩阵的条件数的求法
MATLAB中,计算矩阵A的三种条件数的函数是:
cond(A,1)计算A的1——范数下的条件数
cond(A) cond(A,2)——计算A的2——范数下的条件数
cond(A,inf)——计算A的∞——范数下的条件数
四.矩阵的特征值和特征向量
1.定义
设矩阵A为n阶方阵,如果存在:
常数λ和n维非零列向量x,使得等式
Ax=λxAx = λx Ax=λx
成立,那么称
λ是矩阵A的特征值
x是对应特征值λ的特征向量
2.矩阵的特征值和特征向量的求法
MATLAB中:
可以使用E=eig(A求解矩阵A的全部特征值
或者使用[X,D]=eig(A)求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并产生矩阵X,X各列是相应的特征向量
实际计算中:
贴大神博客链接
https://blog.csdn.net/baidu_38172402/article/details/82312967
Thanks for watching!
线性代数知识回顾:矩阵的秩,矩阵的范数,矩阵的条件数,矩阵的特征值和特征向量相关推荐
- 【机器学习】Andrew Ng——03线性代数知识回顾
线性代数知识回顾 在斯坦福大学Andrew Ng老师的机器学习课程中,所提及的线性代数知识都是比较简单基础的. 简单复习 矩阵维度: 元素的表示方法(注意这里的下标是从1开始的,而不是0): ...
- 深度学习/机器学习入门基础数学知识整理(一):线性代数基础,矩阵,范数等
前面大概有2年时间,利用业余时间断断续续写了一个机器学习方法系列,和深度学习方法系列,还有一个三十分钟理解系列(一些趣味知识):新的一年开始了,今年给自己定的学习目标--以补齐基础理论为重点,研究一些 ...
- AI 数学基础知识-方向导数与梯度、范数矩阵、SVD分解、PCA、凸函数
原课程链接 自己的课程笔记,方便自己查漏补缺.想补充数学预备知识的友友,建议去看原视频. 相比于考研数学,这里更注重理解,而不是强调计算能力. 数分 方向导数和梯度 之后学梯度下降算法需要,考研时没学 ...
- 形象理解线性代数(三)——列空间、零空间(核)、值域、特征值(特征向量)、矩阵与空间变换、矩阵的秩
这里,我们还是要以 形象理解线性代数(一)--什么是线性变换?为基础.矩阵对向量的作用,可以理解为线性变换,同时也可以理解为空间的变换,即(m*n)的矩阵会把一个向量从m维空间变换到n维空间. 一.矩 ...
- 2.3 matlab矩阵求值(矩阵的行列式值、矩阵的秩、矩阵的积、矩阵的范数和矩阵的条件数)
1.方阵的行列式 把一个方阵看作一个行列式,并对其按行列式的规则求值,这个值就称为方阵所对应的行列式的值.det(A):求方阵A所对应的行列式的值. >> format rat; > ...
- Matlab与线性代数 -- 矩阵的范数
本图文介绍了矩阵的范数以及在Matlab中的具体操作.
- 线性代数基础(矩阵、范数、正交、特征值分解、奇异值分解、迹运算)
目录 基础概念 矩阵转置 对角矩阵 线性相关 范数 正交 特征值分解 奇异值分解 Moore-Penrose 伪逆 迹运算 行列式 如果这篇文章对你有一点小小的帮助,请给个关注喔~我会非常开心的~ 基 ...
- 矩阵的基础知识回顾:矩阵乘法,矩阵的逆,伴随矩阵,矩阵的转置,行列式,相似矩阵,实对称矩阵
Agenda 1. 矩阵matrix 1.1 矩阵运算matrix operations 1.1.1 矩阵乘法matrix multiplication 1.1.1.1 简化矩阵乘法(facilita ...
- 线性代数之 矩阵的特征值,特征向量,特征分解
线性代数之 矩阵的特征值,特征向量和特征分解 前言 特征值和特征向量 求矩阵特征值 矩阵的特征分解 补充:实对称矩阵 后记 前言 矩阵的特征分解是比较基础的知识了,但是应用却十分广泛,比如主成分分析. ...
最新文章
- 由于stdin不是终端,因此不会分配伪终端
- 浏览器本地mysql_IndexedDB:浏览器里的本地数据库
- 使用jenkins实现监控嵌入式设备稳定性之二----脚本部分
- 数学狂想曲(十二)——熵(2), 阴影面积, 肺炎版《黄冈密卷》
- activiti jbpm相关资源
- 手机html文档,手机文档html能删除吗
- 被AI改变的风投模式:数据驱动使效率提高10倍
- js系列教程8-事件全解
- 车位编号lisp_cad自动编号插件
- STM32 HAL us delay(微秒延时)的指令延时实现方式及优化
- 洛谷 P4234 LCT + 排序 + 枚举
- SQL数据计数(count)
- ResNeXt算法详解(resnet提升篇)
- [渝粤教育] 西南科技大学 电工学 在线考试复习资料
- 循环移动数组,比如移动M个位置
- git clone 报错
- 2022年使用的至佳Java IDE
- 卷积神经网络实战之LeNet5股票预测代码实现及遇到各种问题的解决方案
- Unity的几种移动和旋转方法
- [Leet code 最后一块石头的重量]
热门文章
- 首播过亿,火爆全网,我分析了《乘风破浪的姐姐》,发现了这些秘密
- CSS:root用法
- dft计算傅里叶级数系数_DFT(离散傅里叶变换)与FFT(快速傅里叶变换)初识
- Linux调整挂载磁盘分区大小
- 数字驱动、智能发展|众享宇联亮相2022世界数字经济大会
- 应用程序无法正常启动0xc000007b的解决方法
- Linux中vi文件保存退出命令
- TEA5676 + AT24C08 FM收音机 搜台 存台 mmap 实现读写
- php uint,PHP内核 - 数据类型 - 变量
- 苹果笔记本怎么安装python_苹果系统MAC下如何安装Python解释器