高等数学（第七版）同济大学习题2-4 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题2-4

1.求由下列方程所确定的隐函数的导数dydx:\begin{aligned}&1. \ 求由下列方程所确定的隐函数的导数\frac{dy}{dx}:&\end{aligned}1. 求由下列方程所确定的隐函数的导数dxdy:

(1)y2−2xy+9=0；(2)x3+y3−3axy=0；(3)xy=ex+y；(4)y=1−xey\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y^2-2xy+9=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ x^3+y^3-3axy=0；\\\\ &\ \ (3)\ \ xy=e^{x+y}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=1-xe^y & \end{aligned} (1) y2−2xy+9=0； (2) x3+y3−3axy=0； (3) xy=ex+y； (4) y=1−xey

解：

(1)ddx(y2−2xy+9)=2ydydx−2y−2xdydx=0，dydx=yy−x(2)ddx(x3+y3−3axy)=3x2+3y2dydx−3ay−3axdydx=0，dydx=x2−ayax−y2(3)ddx(xy−ex+y)=y+xdydx−ex+y(1+dydx)=y+xdydx−ex+y−ex+ydydx=0，dydx=ex+y−yx−ex+y(4)ddx(xey+y−1)=ey+xeydydx+dydx=0，dydx=−eyxey+1\begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{d}{dx}(y^2-2xy+9)=2y\frac{dy}{dx}-2y-2x\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=\frac{y}{y-x}\\\\ &\ \ (2)\ \frac{d}{dx}(x^3+y^3-3axy)=3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-3ay-3ax\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=\frac{x^2-ay}{ax-y^2}\\\\ &\ \ (3)\ \frac{d}{dx}(xy-e^{x+y})=y+x\frac{dy}{dx}-e^{x+y}(1+\frac{dy}{dx})=y+x\frac{dy}{dx}-e^{x+y}-e^{x+y}\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x+y}-y}{x-e^{x+y}}\\\\ &\ \ (4)\ \frac{d}{dx}(xe^y+y-1)=e^y+xe^y\frac{dy}{dx}+\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=-\frac{e^y}{xe^y+1} & \end{aligned} (1) dxd(y2−2xy+9)=2ydxdy−2y−2xdxdy=0，dxdy=y−xy (2) dxd(x3+y3−3axy)=3x2+3y2dxdy−3ay−3axdxdy=0，dxdy=ax−y2x2−ay (3) dxd(xy−ex+y)=y+xdxdy−ex+y(1+dxdy)=y+xdxdy−ex+y−ex+ydxdy=0，dxdy=x−ex+yex+y−y (4) dxd(xey+y−1)=ey+xeydxdy+dxdy=0，dxdy=−xey+1ey

2.求曲线x23+y23=a23在点(24a,24a)处的切线方程和法线方程。\begin{aligned}&2. \ 求曲线x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}在点\left(\frac{\sqrt{2}}{4}a, \ \frac{\sqrt{2}}{4}a\right)处的切线方程和法线方程。&\end{aligned}2. 求曲线x32+y32=a32在点(42a, 42a)处的切线方程和法线方程。

解：

ddx(x23+y23−a23)=23x−13+23y−13dydx=0，dydx=−(xy)−13，在点(24a,24a)处，y′=−1。切线方程：y−24a=−1⋅(x−24a)，即x+y=22a.法线方程：y−24a=1⋅(x−24a)，即x−y=0.\begin{aligned} &\ \ \frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{2}{3}})=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=-\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{3}}，在点\left(\frac{\sqrt{2}}{4}a, \ \frac{\sqrt{2}}{4}a\right)处，y'=-1。\\\\ &\ \ 切线方程：y-\frac{\sqrt{2}}{4}a=-1\cdot\left(x-\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)，即x+y=\frac{\sqrt{2}}{2}a.\\\\ &\ \ 法线方程：y-\frac{\sqrt{2}}{4}a=1\cdot\left(x-\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)，即x-y=0. & \end{aligned} dxd(x32+y32−a32)=32x−31+32y−31dxdy=0，dxdy=−(yx)−31，在点(42a, 42a)处，y′=−1。切线方程：y−42a=−1⋅(x−42a)，即x+y=22a. 法线方程：y−42a=1⋅(x−42a)，即x−y=0.

3.求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数d2ydx2:\begin{aligned}&3. \ 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数\frac{d^2y}{dx^2}:&\end{aligned}3. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数dx2d2y:

(1)x2−y2=1；(2)b2x2+a2y2=a2b2；(3)y=tan(x+y)；(4)y=1+xey.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ x^2-y^2=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2；\\\\ &\ \ (3)\ \ y=tan\ (x+y)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=1+xe^y. & \end{aligned} (1) x2−y2=1； (2) b2x2+a2y2=a2b2； (3) y=tan (x+y)； (4) y=1+xey.

解：

(1)2x−2ydydx=0，dydx=xy，d2ydx2=y−xy′y2=y2−x2y3=−1y3(2)2b2x+2a2ydydx=0，dydx=−b2xa2y，d2ydx2=−b2a2⋅y−xy′y2=−b2a2⋅a2b2a2y3=−b4a2y3(3)dydx=sec2(x+y)(1+dydx)=[1+tan2(x+y)](1+dydx)=(1+y2)(1+dydx)，dydx=−1y2−1d2ydx2=2y′y3=−2(1+y2)y5=−2csc2(x+y)cot3(x+y).(4)dydx=ey+xeydydx，dydx=ey1−xey，d2ydx2=eyy′(1−xey)+ey(ey+xeyy′)(1−xey)2=eyy′+(ey)2(1−xey)2=2e2y−xe3y(1−xey)3\begin{aligned} &\ \ (1)\ 2x-2y\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y-xy'}{y^2}=\frac{y^2-x^2}{y^3}=-\frac{1}{y^3}\\\\ &\ \ (2)\ 2b^2x+2a^2y\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2x}{a^2y}，\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{y-xy'}{y^2}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{a^2b^2}{a^2y^3}=-\frac{b^4}{a^2y^3}\\\\ &\ \ (3)\ \frac{dy}{dx}=sec^2(x+y)(1+\frac{dy}{dx})=[1+tan^2(x+y)](1+\frac{dy}{dx})=(1+y^2)(1+\frac{dy}{dx})，\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{y^2}-1\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2y'}{y^3}=-\frac{2(1+y^2)}{y^5}=-2csc^2(x+y)cot^3(x+y).\\\\ &\ \ (4)\ \frac{dy}{dx}=e^y+xe^y\frac{dy}{dx}，\frac{dy}{dx}=\frac{e^y}{1-xe^y}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{e^yy'(1-xe^y)+e^y(e^y+xe^yy')}{(1-xe^y)^2}=\frac{e^yy'+(e^y)^2}{(1-xe^y)^2}=\frac{2e^{2y}-xe^{3y}}{(1-xe^y)^3} & \end{aligned} (1) 2x−2ydxdy=0，dxdy=yx，dx2d2y=y2y−xy′=y3y2−x2=−y31 (2) 2b2x+2a2ydxdy=0，dxdy=−a2yb2x，dx2d2y=−a2b2⋅y2y−xy′=−a2b2⋅a2y3a2b2=−a2y3b4 (3) dxdy=sec2(x+y)(1+dxdy)=[1+tan2(x+y)](1+dxdy)=(1+y2)(1+dxdy)，dxdy=−y21−1 dx2d2y=y32y′=−y52(1+y2)=−2csc2(x+y)cot3(x+y). (4) dxdy=ey+xeydxdy，dxdy=1−xeyey，dx2d2y=(1−xey)2eyy′(1−xey)+ey(ey+xeyy′)=(1−xey)2eyy′+(ey)2=(1−xey)32e2y−xe3y

4.用对数求导法求下列函数的导数：\begin{aligned}&4. \ 用对数求导法求下列函数的导数：&\end{aligned}4. 用对数求导法求下列函数的导数：

(1)y=(x1+x)x；(2)y=x−5x2+255；(3)y=x+2(3−x)4(x+1)5；(4)y=xsinx1−ex.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=\sqrt[5]{\frac{x-5}{\sqrt[5]{x^2+2}}}；\\\\ &\ \ (3)\ \ y=\frac{\sqrt{x+2}(3-x)^4}{(x+1)^5}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=\sqrt{xsin\ x\sqrt{1-e^x}}. & \end{aligned} (1) y=(1+xx)x； (2) y=55x2+2x−5； (3) y=(x+1)5x+2(3−x)4； (4) y=xsin x1−ex.

解：

(1)lny=xln(x1+x)，1yy′=ln(x1+x)+x⋅1+xx⋅1+x−x(1+x)2=ln(x1+x)+11+xy′=y(lnx1+x+11+x)=(x1+x)x(lnx1+x+11+x)(2)lny=15[ln(x−5)−15ln(x2+2)]=125[5ln(x−5)−ln(x2+2)]，1yy′=125(5x−5−2xx2+2)，y′=y25(5x−5−2xx2+2)=x−5x2+255[15(x−5)−2x25(x2+2)](3)lny=12ln(x+2)+4ln(3−x)−5ln(x+1)，1yy′=12(x+2)−43−x−5x+1，y′=x+2(3−x)4(x+1)5[12(x+2)−43−x−5x+1](4)lny=12ln(xsinx1−ex)=12[lnx+lnsinx+12ln(1−ex)]1yy′=12[1x+cotx−ex2(1−ex)]，y′=12xsinx1−ex[1x+cotx−ex2(1−ex)]\begin{aligned} &\ \ (1)\ ln\ y=xln\ \left(\frac{x}{1+x}\right)，\frac{1}{y}y'=ln\ \left(\frac{x}{1+x}\right)+x\cdot \frac{1+x}{x}\cdot \frac{1+x-x}{(1+x)^2}=ln\ \left(\frac{x}{1+x}\right)+\frac{1}{1+x}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y'=y\left(ln\ \frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}\right)=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x\left(ln\ \frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}\right)\\\\ &\ \ (2)\ ln\ y=\frac{1}{5}[ln\ (x-5)-\frac{1}{5}ln\ (x^2+2)]=\frac{1}{25}[5ln\ (x-5)-ln\ (x^2+2)]，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{y}y'=\frac{1}{25}\left(\frac{5}{x-5}-\frac{2x}{x^2+2}\right)，y'=\frac{y}{25}\left(\frac{5}{x-5}-\frac{2x}{x^2+2}\right)=\sqrt[5]{\frac{x-5}{\sqrt[5]{x^2+2}}}\left[\frac{1}{5(x-5)}-\frac{2x}{25(x^2+2)}\right]\\\\ &\ \ (3)\ ln\ y=\frac{1}{2}ln(x+2)+4ln(3-x)-5ln(x+1)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{y}y'=\frac{1}{2(x+2)}-\frac{4}{3-x}-\frac{5}{x+1}，y'=\frac{\sqrt{x+2}(3-x)^4}{(x+1)^5}\left[\frac{1}{2(x+2)}-\frac{4}{3-x}-\frac{5}{x+1}\right]\\\\ &\ \ (4)\ ln\ y=\frac{1}{2}ln\ (xsin\ x\sqrt{1-e^x})=\frac{1}{2}[ln\ x+ln\ sinx+\frac{1}{2}ln\ (1-e^x)]\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{y}y'=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{x}+cot\ x-\frac{e^x}{2(1-e^x)}\right]，y'=\frac{1}{2}\sqrt{xsin\ x\sqrt{1-e^x}}\left[\frac{1}{x}+cot\ x-\frac{e^x}{2(1-e^x)}\right] & \end{aligned} (1) ln y=xln (1+xx)，y1y′=ln (1+xx)+x⋅x1+x⋅(1+x)21+x−x=ln (1+xx)+1+x1 y′=y(ln 1+xx+1+x1)=(1+xx)x(ln 1+xx+1+x1) (2) ln y=51[ln (x−5)−51ln (x2+2)]=251[5ln (x−5)−ln (x2+2)]， y1y′=251(x−55−x2+22x)，y′=25y(x−55−x2+22x)=55x2+2x−5[5(x−5)1−25(x2+2)2x] (3) ln y=21ln(x+2)+4ln(3−x)−5ln(x+1)， y1y′=2(x+2)1−3−x4−x+15，y′=(x+1)5x+2(3−x)4[2(x+2)1−3−x4−x+15] (4) ln y=21ln (xsin x1−ex)=21[ln x+ln sinx+21ln (1−ex)] y1y′=21[x1+cot x−2(1−ex)ex]，y′=21xsin x1−ex[x1+cot x−2(1−ex)ex]

5.求下列参数方程所确定的函数的导数dydx：\begin{aligned}&5. \ 求下列参数方程所确定的函数的导数\frac{dy}{dx}：&\end{aligned}5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dxdy：

(1){x=at2，y=bt3；(2){x=θ(1−sinθ)，y=θcosθ.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}x=at^2，\\\\y=bt^3；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}x=\theta(1-sin\ \theta)，\\\\y=\theta cos\ \theta.\end{cases} & \end{aligned} (1) ⎩⎪⎨⎪⎧x=at2，y=bt3； (2) ⎩⎪⎨⎪⎧x=θ(1−sin θ)，y=θcos θ.

解：

(1)dydx=(bt3)′(at2)′=3bt22at=3b2at(2)dydx=(θcosθ)′(θ(1−sinθ))′=cosθ−θsinθ1−sinθ−θcosθ\begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(bt^3)'}{(at^2)'}=\frac{3bt^2}{2at}=\frac{3b}{2a}t\\\\ &\ \ (2)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(\theta cos\ \theta)'}{(\theta(1-sin\ \theta))'}=\frac{cos\ \theta-\theta sin\ \theta}{1-sin\ \theta-\theta cos\ \theta} & \end{aligned} (1) dxdy=(at2)′(bt3)′=2at3bt2=2a3bt (2) dxdy=(θ(1−sin θ))′(θcos θ)′=1−sin θ−θcos θcos θ−θsin θ

6.已知{x=etsint，y=etcost，求当t=π3时dydx的值。\begin{aligned}&6. \ 已知\begin{cases}x=e^tsin\ t，\\\\y=e^tcos\ t，\end{cases}求当t=\frac{\pi}{3}时\frac{dy}{dx}的值。&\end{aligned}6. 已知⎩⎪⎨⎪⎧x=etsin t，y=etcos t，求当t=3π时dxdy的值。

解：

dydx=(etcost)′(etsint)′=etcost−etsintetsint+etcost=cost−sintcost+sint，当t=π3时，dydx=cosπ3−sinπ3cosπ3+sinπ3=1−31+3=3−2\begin{aligned} &\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{(e^tcos\ t)'}{(e^tsin\ t)'}=\frac{e^tcos\ t-e^tsin\ t}{e^tsin\ t+e^tcos\ t}=\frac{cos\ t-sin\ t}{cos\ t+sin\ t}，当t=\frac{\pi}{3}时，\frac{dy}{dx}=\frac{cos\ \frac{\pi}{3}-sin\ \frac{\pi}{3}}{cos\ \frac{\pi}{3}+sin\ \frac{\pi}{3}}=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-2 & \end{aligned} dxdy=(etsin t)′(etcos t)′=etsin t+etcos tetcos t−etsin t=cos t+sin tcos t−sin t，当t=3π时，dxdy=cos 3π+sin 3πcos 3π−sin 3π=1+31−3=3−2

7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程：\begin{aligned}&7. \ 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程：&\end{aligned}7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程：

(1){x=sint，y=cos2t，在t=π4处；(2){x=3at1+t2，y=3at21+t2，在t=2处。\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}x=sin\ t，\\\\y=cos\ 2t，\end{cases}在t=\frac{\pi}{4}处；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^2}，\\\\y=\frac{3at^2}{1+t^2}，\end{cases}在t=2处。 & \end{aligned} (1) ⎩⎪⎨⎪⎧x=sin t，y=cos 2t，在t=4π处； (2) ⎩⎪⎨⎪⎧x=1+t23at，y=1+t23at2，在t=2处。

解：

(1)dydx=(cos2t)′(sint)′=−2sin2tcost，当t=π4时，dydx=−22当t=π4时，x0=22，y0=0，切线方程为y=−22(x−22)，即22x+y−2=0，法线方程为y=24(x−22)，即2x−4y−1=0(2)dydx=(3at21+t2)′(3at1+t2)′=6at(1+t2)−3at2⋅2t(1+t2)23a(1+t2)−3at⋅2t(1+t2)2=2t1−t2，当t=2时，dydx=−43当t=2时，x0=65a，y0=125a，切线方程为y−125a=−43(x−65a)，即4x+3y−12a=0法线方程为y−125a=34(x−65a)，即3x−4y+6a=0\begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(cos\ 2t)'}{(sin\ t)'}=\frac{-2sin\ 2t}{cos\ t}，当t=\frac{\pi}{4}时，\frac{dy}{dx}=-2\sqrt{2}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当t=\frac{\pi}{4}时，x_0=\frac{\sqrt{2}}{2}，y_0=0，切线方程为y=-2\sqrt{2}(x-\frac{\sqrt{2}}{2})，即2\sqrt{2}x+y-2=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 法线方程为y=\frac{\sqrt{2}}{4}(x-\frac{\sqrt{2}}{2})，即\sqrt{2}x-4y-1=0\\\\ &\ \ (2)\ \frac{dy}{dx}=\frac{\left(\frac{3at^2}{1+t^2}\right)'}{\left(\frac{3at}{1+t^2}\right)'}=\frac{\frac{6at(1+t^2)-3at^2\cdot 2t}{(1+t^2)^2}}{\frac{3a(1+t^2)-3at\cdot 2t}{(1+t^2)^2}}=\frac{2t}{1-t^2}，当t=2时，\frac{dy}{dx}=-\frac{4}{3}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 当t=2时，x_0=\frac{6}{5}a，y_0=\frac{12}{5}a，切线方程为y-\frac{12}{5}a=-\frac{4}{3}(x-\frac{6}{5}a)，即4x+3y-12a=0\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 法线方程为y-\frac{12}{5}a=\frac{3}{4}(x-\frac{6}{5}a)，即3x-4y+6a=0 & \end{aligned} (1) dxdy=(sin t)′(cos 2t)′=cos t−2sin 2t，当t=4π时，dxdy=−22 当t=4π时，x0=22，y0=0，切线方程为y=−22(x−22)，即22x+y−2=0，法线方程为y=42(x−22)，即2x−4y−1=0 (2) dxdy=(1+t23at)′(1+t23at2)′=(1+t2)23a(1+t2)−3at⋅2t(1+t2)26at(1+t2)−3at2⋅2t=1−t22t，当t=2时，dxdy=−34 当t=2时，x0=56a，y0=512a，切线方程为y−512a=−34(x−56a)，即4x+3y−12a=0 法线方程为y−512a=43(x−56a)，即3x−4y+6a=0

8.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d2ydx2：\begin{aligned}&8. \ 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数\frac{d^2y}{dx^2}：&\end{aligned}8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2d2y：

(1){x=t22，y=1−t；(2){x=acost，y=bsint；(3){x=3e−t，y=2et；(4){x=f′(t)，y=tf′(t)−f(t)，设f′′(t)存在且不为零.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}x=\frac{t^2}{2}，\\\\y=1-t；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}x=a\ cos\ t，\\\\y=b\ sin\ t；\end{cases}\\\\ &\ \ (3)\ \ \begin{cases}x=3e^{-t}，\\\\y=2e^t；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \begin{cases}x=f'(t)，\\\\y=tf'(t)-f(t)，\end{cases}设f''(t)存在且不为零. & \end{aligned} (1) ⎩⎪⎨⎪⎧x=2t2，y=1−t； (2) ⎩⎪⎨⎪⎧x=a cos t，y=b sin t； (3) ⎩⎪⎨⎪⎧x=3e−t，y=2et； (4) ⎩⎪⎨⎪⎧x=f′(t)，y=tf′(t)−f(t)，设f′′(t)存在且不为零.

解：

(1)dydx=(1−t)′(t22)′=−1t，d2ydx2=ddt(dydx)dxdt=1t2t=1t3(2)dydx=(bsint)′(acost)′=bcost−asint=−bacott，d2ydx2=ddt(dydx)dxdt=bacsc2t−asint=−ba2sin3t(3)dydx=(2et)′(3e−t)′=−23e2t，d2ydx2=ddt(dydx)dxdt=−43e2t−3e−t=49e3t(4)dydx=(tf′(t)−f(t))′(f′(t))′=f′(t)+tf′′(t)−f′(t)f′′(t)=t，d2ydx2=1f′′(t)\begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(1-t)'}{\left(\frac{t^2}{2}\right)'}=-\frac{1}{t}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{1}{t^2}}{t}=\frac{1}{t^3}\\\\ &\ \ (2)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(b\ sin\ t)'}{(a\ cos\ t)'}=\frac{b\ cos\ t}{-a\ sin\ t}=-\frac{b}{a}cot\ t，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{b}{a}csc^2\ t}{-asin\ t}=-\frac{b}{a^2sin^3\ t}\\\\ &\ \ (3)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(2e^t)'}{(3e^{-t})'}=-\frac{2}{3}e^{2t}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-\frac{4}{3}e^{2t}}{-3e^{-t}}=\frac{4}{9}e^{3t}\\\\ &\ \ (4)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(tf'(t)-f(t))'}{(f'(t))'}=\frac{f'(t)+tf''(t)-f'(t)}{f''(t)}=t，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{f''(t)} & \end{aligned} (1) dxdy=(2t2)′(1−t)′=−t1，dx2d2y=dtdxdtd(dxdy)=tt21=t31 (2) dxdy=(a cos t)′(b sin t)′=−a sin tb cos t=−abcot t，dx2d2y=dtdxdtd(dxdy)=−asin tabcsc2 t=−a2sin3 tb (3) dxdy=(3e−t)′(2et)′=−32e2t，dx2d2y=dtdxdtd(dxdy)=−3e−t−34e2t=94e3t (4) dxdy=(f′(t))′(tf′(t)−f(t))′=f′′(t)f′(t)+tf′′(t)−f′(t)=t，dx2d2y=f′′(t)1

9.求下列参数方程所确定的函数的三阶导数d3ydx3：\begin{aligned}&9. \ 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数\frac{d^3y}{dx^3}：&\end{aligned}9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数dx3d3y：

(1){x=1−t2，y=t−t2；(2){x=ln(1+t2)，y=t−arctant.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}x=1-t^2，\\\\y=t-t^2；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}x=ln(1+t^2)，\\\\y=t-arctan\ t.\end{cases} & \end{aligned} (1) ⎩⎪⎨⎪⎧x=1−t2，y=t−t2； (2) ⎩⎪⎨⎪⎧x=ln(1+t2)，y=t−arctan t.

解：

(1)dydx=(t−t3)′(1−t2)′=−1−3t22t，d2ydx2=ddt(dydx)dxdt=12t2+32−2t=−14(1t3+3t)，d3ydx3=−14(−3t4−3t2)−2t=−38t5(1+t2)(2)dydx=(t−arctant)′(ln(1+t2))′=t2，d2ydx2=ddt(dydx)dxdt=1+t24t，d3ydx3=t4−18t3\begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(t-t^3)'}{(1-t^2)'}=-\frac{1-3t^2}{2t}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{1}{2t^2}+\frac{3}{2}}{-2t}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{t^3}+\frac{3}{t}\right)，\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{-\frac{1}{4}\left(-\frac{3}{t^4}-\frac{3}{t^2}\right)}{-2t}=-\frac{3}{8t^5}(1+t^2)\\\\ &\ \ (2)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(t-arctan\ t)'}{(ln(1+t^2))'}=\frac{t}{2}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1+t^2}{4t}，\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{t^4-1}{8t^3} & \end{aligned} (1) dxdy=(1−t2)′(t−t3)′=−2t1−3t2，dx2d2y=dtdxdtd(dxdy)=−2t2t21+23=−41(t31+t3)，dx3d3y=−2t−41(−t43−t23)=−8t53(1+t2) (2) dxdy=(ln(1+t2))′(t−arctan t)′=2t，dx2d2y=dtdxdtd(dxdy)=4t1+t2，dx3d3y=8t3t4−1

10.落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大速率总是6m/s，问在2s末扰动水面面积增大的速率为多少？\begin{aligned}&10. \ 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大速率总是6m/s，\\\\&\ \ \ \ \ \ 问在2s末扰动水面面积增大的速率为多少？&\end{aligned}10. 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大速率总是6m/s，问在2s末扰动水面面积增大的速率为多少？

解：

设最外一圈波的半径为r=r(t)，圆面积S=S(t)，在S=πr2两端求导，得dSdt=2πrdrdt.当t=2时，r=6×2=12，drdt=6，因此dSdt=2π⋅12⋅6=144πm2/s\begin{aligned} &\ \ 设最外一圈波的半径为r=r(t)，圆面积S=S(t)，在S=\pi r^2两端求导，得\frac{dS}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}.\\\\ &\ \ 当t=2时，r=6 \times 2=12，\frac{dr}{dt}=6，因此\frac{dS}{dt}=2\pi \cdot 12 \cdot 6=144\pi\ m^2/s & \end{aligned} 设最外一圈波的半径为r=r(t)，圆面积S=S(t)，在S=πr2两端求导，得dtdS=2πrdtdr. 当t=2时，r=6×2=12，dtdr=6，因此dtdS=2π⋅12⋅6=144π m2/s

11.注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4m3/min.当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？\begin{aligned}&11. \ 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4m^3/min.当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？&\end{aligned}11. 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4m3/min.当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？

解：

设t时刻容器中水深为h(t)，水容积为V(t)，因r4=h8，r=h2，所以V=13πr2h=13π(h2)2h=π12h3dVdt=π4h2dhdt，dhdt=4πh2dVdt，当h=5时，dhdt=425π⋅4=1625πm/min\begin{aligned} &\ \ 设t时刻容器中水深为h(t)，水容积为V(t)，因\frac{r}{4}=\frac{h}{8}，r=\frac{h}{2}，所以V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2h=\frac{\pi}{12}h^3\\\\ &\ \ \frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{4}h^2\frac{dh}{dt}，\frac{dh}{dt}=\frac{4}{\pi h^2}\frac{dV}{dt}，当h=5时，\frac{dh}{dt}=\frac{4}{25\pi}\cdot 4=\frac{16}{25\pi}\ m/min & \end{aligned} 设t时刻容器中水深为h(t)，水容积为V(t)，因4r=8h，r=2h，所以V=31πr2h=31π(2h)2h=12πh3 dtdV=4πh2dtdh，dtdh=πh24dtdV，当h=5时，dtdh=25π4⋅4=25π16 m/min

12.溶液自深18cm、顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min。问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？\begin{aligned}&12. \ 溶液自深18cm、顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液。\\\\&\ \ \ \ \ \ 已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min。问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？&\end{aligned}12. 溶液自深18cm、顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min。问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？

解：

设在t时刻漏斗中的水深为H=H(t)，圆柱形筒中水深为h=h(t).13π62⋅18−13πr2H=π52h，因r6=H18，r=H3，所以13π62⋅18−13π(H3)2H=π52h，即216π−π27H3=25πh，两端求导，得−327πH2dHdt=25πdhdt，当H=12时，dHdt=−1，dhdt=125π(−327πH2dHdt)=1625cm/min.\begin{aligned} &\ \ 设在t时刻漏斗中的水深为H=H(t)，圆柱形筒中水深为h=h(t).\\\\ &\ \ \frac{1}{3}\pi 6^2\cdot 18-\frac{1}{3}\pi r^2H=\pi 5^2h，因\frac{r}{6}=\frac{H}{18}，r=\frac{H}{3}，所以\frac{1}{3}\pi 6^2\cdot 18-\frac{1}{3}\pi \left(\frac{H}{3}\right)^2H=\pi 5^2h，\\\\ &\ \ 即216\pi-\frac{\pi}{27}H^3=25\pi h，两端求导，得-\frac{3}{27}\pi H^2\frac{dH}{dt}=25\pi \frac{dh}{dt}，\\\\ &\ \ 当H=12时，\frac{dH}{dt}=-1，\frac{dh}{dt}=\frac{1}{25\pi}\left(-\frac{3}{27}\pi H^2\frac{dH}{dt}\right)=\frac{16}{25}\ cm/min. & \end{aligned} 设在t时刻漏斗中的水深为H=H(t)，圆柱形筒中水深为h=h(t). 31π62⋅18−31πr2H=π52h，因6r=18H，r=3H，所以31π62⋅18−31π(3H)2H=π52h，即216π−27πH3=25πh，两端求导，得−273πH2dtdH=25πdtdh，当H=12时，dtdH=−1，dtdh=25π1(−273πH2dtdH)=2516 cm/min.