会场安排问题贪心算法

问题描述：

假设要在足够多的会场里安排一批活动，并希望使用尽可能少的会场。设计一个有效的贪心算法进行安排（这个问题实际上是著名的图着色问题。若将每一个活动作为图的一个顶点，不相容活动间用边相连。使相邻顶点着有不同颜色的最小着色数，相应于要找的最小会场数）。

问题解答：

<1>、用贪心选择策略解会场安排问题。

贪心算法重要的两个性质：贪心选择性质和最优子结构性质。

1、问题的贪心选择性质

证明：首先将会场安排问题数学化，设有n个活动的集合 e= { 1 ，2 ，…，n }，每个活动 i 都有一个要求使用该会场的起始时问si 和一个结束时问fi 。即k是所需最少会场的个数。设活动已排序，( a1 , a2 , … ,ak )是所需要的k个已安排了活动的会场。①当k = 1时，也就是所有的活动在一个会场里相容，a1 是满足贪心选择性质的最优解；②当k>= 2时，取b1=a1,bk=ak (即bk是安排了m个活动的一个会场，(n-m)个活动都安排在b1 到bk-1个会场里)。就是（n-m）个活动安排需要（k -1）个会场。则(b1,b2 ,…,bk-1 )是（n - m）个活动可行解。另一方面，由{( a1 ,a2,…,ak)-ak}=(b1,b2,…,bk-1)知，(b1,b2,…,bk-1)也是满足贪心选择性质的最优解，所以，会场安排问题具有贪心选择性质。

2、问题的最优子结构性质

证明：( a1,a2, …,ak )是n个活动的集合e= {1，2 ，…，n }所需会场的最优解。设a1中安排了m个相容的活动，那么也就是说（n-m）个活动完全安排需要k-1个会场。假设（n - m）个活动安排只需要k-2个会场或则更少的会场。也就是说n个活动安排只需要k-1个会场或者更少的会场就可以安排完，则前后出现矛盾。一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。

<2>、算法实现思路：

1）、首先定义一个时间类Node，有两个data，flag属性，其中data是时间值，flag是判断活动开始还是结束。

2）、对所有的时间对象按.data排序到一个数组中，其中选择归并排序方法进行排序。

3）、该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。依次取出该数组的数据，判断其属性flag，若是一个开始时间，则Count++，若是结束时间Count--，其中最大的Count值就是要求的最少的会场数。

<3>、算法程序：

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;//活动的时间类
class Node
{
public:int data;//时间值bool flag;//判断是开始还是结束，0表示开始，1表示结束bool operator<(Node &secondRational);//按时间值比较两个对象的大小
};//比较类中时间值的大小
bool Node::operator<(Node &secondRational)
{if((this->data-secondRational.data)<0)return true;elsereturn false;
}//复制数组函数
template<typename T>
void arraycopy(T source[],int sourceStartIndex,T target[],int targetStartIndex,int length);
//合并数组函数
template<typename T>
void merge(T list1[],int list1Size,T list2[],int list2Size,T temp[]);
//归并排序函数
template<typename T>
void mergeSort(T list[],int arraySize)
{if(arraySize>1){//复制排序前半部分数组T *firstHalf=new T[arraySize/2];arraycopy(list,0,firstHalf,0,arraySize/2);mergeSort(firstHalf,arraySize/2);//复制排序后半部分数组int secondHalfLength=arraySize-arraySize/2;T *secondHalf=new T[secondHalfLength];arraycopy(list,arraySize/2,secondHalf,0,secondHalfLength);mergeSort(secondHalf,secondHalfLength);//合并复制两部分数组T *temp=new T[arraySize];merge(firstHalf,arraySize/2,secondHalf,secondHalfLength,temp);arraycopy(temp,0,list,0,arraySize);delete []temp;delete []firstHalf;delete []secondHalf;}
}//将两个数组按大小顺序合并入一个数组中
template<typename T>
void merge(T list1[],int list1Size,T list2[],int list2Size,T temp[])
{int current1=0;int current2=0;int current3=0;while(current1<list1Size&¤t2<list2Size){if(list1[current1]<list2[current2])temp[current3++]=list1[current1++];elsetemp[current3++]=list2[current2++];}while(current1<list1Size)temp[current3++]=list1[current1++];while(current2<list2Size)temp[current3++]=list2[current2++];
}//将一个数组复制到另一个数组中
template<typename T>
void arraycopy(T source[],int sourceStartIndex,T target[],int targetStartIndex,int length)
{for(int i=0;i<length;i++){target[i+targetStartIndex]=source[i+sourceStartIndex];}
}//最少会场数函数
int Greedyplan(Node f[],int n)
{int Count=0;int maxCount=0;/*遍历活动时间，若此时间为开始时间，则Count+1,为结束时间，则Count-1统计得出最大的Count值，并将Count值赋给maxCount，此maxCount值就为最少的会场数*/for(int i=0;i<n;i++){if(f[i].flag==0)//若此时间为开始时间Count+1{Count++;if(Count>maxCount)//记录次循环中最大的Count值{maxCount=Count;}}else//若为结束时间Count-1{Count--;}}return maxCount;
}int main()
{//读出输入文件中的数据fstream fin;fin.open("input.txt",ios::in);if(fin.fail()){cout<<"File does not exist!"<<endl;cout<<"Exit program"<<endl;return 0;}int n;fin>>n;//建立两个Node类型的数组，用于存放开始时间和结束时间Node *a=new Node[n];Node *b=new Node[n];for(int i=0;i<n;i++){fin>>a[i].data;fin>>b[i].data;}//将开始时间表示为0for(int j=0;j<n;j++){a[j].flag=0;    }//将结束时间表示为1for(int k=0;k<n;k++){b[k].flag=1;    }//再建立一个Node类型的数组，将前两个数组中的数据复制到此数组中Node *c=new Node[2*n];arraycopy(a,0,c,0,n);arraycopy(b,0,c,n,n);//将数组c按时间值大小排序，此排序为稳定的归并排序mergeSort(c,2*n);//调用最少会场数函数int mm=Greedyplan(c,2*n);//控制台输出cout<<"最少会场数为："<<mm<<endl;//将结果数据写入到输出文件fstream fout;fout.open("output.txt",ios::out);fout<<mm;fin.close();fout.close();system("pause");return 0;
}

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