一、插值的定义

二、拉格朗日多项式插值（Lagrange插值）

三、龙格现象（Runge phenomenon）

四、牛顿插值（Newton）

五、分段线性插值

六、埃尔米特插值(Hermite 插值)

七、三次样条插值

八、插值算法总结

数学建模中常常需要进行数据处理，当给定的数据较少不足以支撑分析的进行时，可以采用插值算法产生一些新值满足数据处理的需求，简而言之，插值是求过已知有限个数据点的近似函数。

常见的插值有拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。

一、插值的定义

已知 $n+1$ 个节点 $(x_{j},y_{j})$ $(j=0, 1, ...,n)$ 其中 $x_{j}$ 互不相同，不妨设 $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b$ ，求任一插值点 $x^{*}(\neq x_{j})$ 处的插值 $y^{*}$ 。

构造一个（相对简单的）函数 $y=f(x)$ ，通过全部节点，即：

$f(x_{j})=y_{j}, j=0,1,...,n$ ，

再用 $f(x)$ 计算插值，即 $y^{*}=f(x^{*})$ 。

总之，插值的关键要满足插值函数过插值节点。

二、拉格朗日多项式插值（Lagrange插值）

已知函数 $f(x)$ 在 $n+1$ 个点 $x_{0},x_{1},...,x_{n}$ 处的函数值为 $y_{0}, y_{1}, ... ,y_{n}$ . 求 $n$ 次多项式函数 $P_{n}(x)$ ，使其满足：

$P_{n}(x_{i})=y_{i}, i=0,1,...,n$

解决此问题的拉格朗日插值多项式公式为：

$P_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}L_{i}(x)*y_{i}$ ，其中 $L_{i}(x)$ 为 $n$ 次多项式：

$L_{i}(x)=\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})-(x_{i}-x_{1})...(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})...(x_{i}-x_{n})}$

称为拉格朗日插值基函数。

三、龙格现象（Runge phenomenon）

在介绍龙格现象之前，可以考虑一个问题：插值多项式次数越高误差越小吗？

高次插值会产生龙格现象，即在两端波动极大，产生明显的震荡。在不熟悉曲线运动趋势的前提下，不要轻易使用高次插值。

四、牛顿插值（Newton）

Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，因而便于递推运算，而且Newton插值的计算量小于Lagrange插值。

五、分段线性插值

分段低次插值的思路：

(1) 插值多项式次数高精度未必显著提高

(2) 插值多项式次数越高摄入误差可能显著增大

那么，如何提高插值精度呢？

采用分段低次插值是一种办法

六、埃尔米特插值(Hermite 插值)

插值问题的一般要求是插值函数过插值节点，那么为了保持插值曲线在节点处有切线，使插值函数和被插函数的密和程度更好，对插值问题提出了更高的要求；插值节点的导数值也要相等，甚至要求高阶导数也相等。

Hermite插值多项式为

七、三次样条插值

许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。

八、插值算法总结

(1) 拉格朗日插值和牛顿插值：与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算过程具有继承性。牛顿插值法每次插值只和前n项的值有关，这样每次只要在原来的函数上添加新的项，就能够产生新的函数，但是牛顿插值也存在龙格现象的问题。

(2) 由于拉格朗日插值和牛顿插值只要求插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值，但是这样不能全面反映被插值函数的性态，由此引入了Hermite插值，Hermite插值考虑了低阶和高阶的导数值。

(3) 三次样条插值生成的曲线相对于其他方法来说更加光滑。

数学建模常见算法：插值算法相关推荐

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1.建模步骤模型的建立:当有两个模型套用时,说的高端点,说成是前两个字组合后新名字的算法,其实是两个模型的叠加模型的分析:表层的分析(从图表中能够看出什么)+深层次的分析模型的检验:例如,给10 ...
数学建模常见算法：拟合算法
曲线拟合问题是指:已知平面上个点,,互不相同.寻求函数,使在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得很好. 从拟合的定义可以看出:拟合不需要使曲线一定经过给定的点,而插值要求多项式要经过所有样本 ...
数学建模常见的一些方法【04拟合算法】
文章目录数学建模常见的一些方法 1. 拟合算法 1.1 插值和拟合的区别 1.2 求解最小二乘法 1.3 Matlab求解最小二乘 1.4 如何评价拟合的好坏 1.5 证明SST = SSE + S ...
数学建模常见的一些方法【03插值算法】
文章目录数学建模常见的一些方法 1. 插值算法 1.1 插值法的定义 1.2 插值法的分类 1.3 一般插值多项式原理 1.4 拉格朗日插值法 1.5 龙格现象(Runge phenomenon) ...
数学建模常见模型总结
数学建模常见模型总结一.插值当已有数据量不够,需要补充,且认定已有数据可信时,通常利用函数插值方法. 常用插值方法拉格朗日插值分段线性插值 Hermite 三次样条插值克里金法 matlab ...
数学建模——主成分分析算法详解Python代码
数学建模--主成分分析算法详解Python代码 import matplotlib.pyplot as plt #加载matplotlib用于数据的可视化 from sklearn.decomposi ...
数学建模之减肥计划 matlab编程,数学建模matlab算法大全第02章整数规划.pdf
数学建模matlab算法大全第02章整数规划第二章整数规划 §1 概论 1.1 定义规划中的变量(部分或全部)限制为整数时,称为整数规划.若在线性规划模型中, 变量限制为整数,则称为整数线性规划 ...
数学建模图论算法学习总结
数学建模图论算法学习总结图论基本知识 B站视频: https://www.bilibili.com/video/av18374161/?p=35 https://www.bilibili.com/v ...
数学建模–模拟退火算法
文章目录数学建模--智能算法 1.简介模拟退火算法 1. 简介 2.数学建模中的模拟退火算法原理 3.模拟退火算法流程及应用 1.Metropolis采样算法 2. 退火过程实现算法 3.举个栗子 ...
数学建模必备算法模型，全新升级！
转眼间2019年已经过去了四分之一,近日,2019年数学建模国赛的时间也已经出来啦,确定为9月12日(周四)18时至9月15日(周日)20时. 随着各种各样的数模比赛源源不断地开展,时不时有小伙伴私聊 ...

数学建模常见算法：插值算法

一、插值的定义

二、拉格朗日多项式插值（Lagrange插值）

三、龙格现象（Runge phenomenon）

四、牛顿插值（Newton）

五、分段线性插值

六、埃尔米特插值(Hermite 插值)

七、三次样条插值

八、插值算法总结

数学建模常见算法：插值算法相关推荐

最新文章

热门文章