层次分析法

主要用于解决评价类问题.

例子：

小明最关心大学里的四个方面（学习氛围-0.4，就业前景-0.3，男女比例-0.2，校园景色-0.1）括号里面的数值表示小明认为的重要性程度（权重，其和为1）.

小明的权重表格

	指标权重	华科	武大
学习氛围	0.4	0.7	0.3
就业前景	0.3	0.5	0.5
男女比例	0.2	0.3	0.7
校园景色	0.1	0.25	0.75

最终华科：0.515；武大：0.485

评价类问题关键词：

确定评价指标，形成评价体系

首先想到以下三个问题：

我们评价的目标是什么
我们为了达到这个目标有哪几种可选方案
评价的的准则或者指标是什么

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确定权重思想

1、分而治之，两个两个进行比较根据两两比较的结果推出权重

标度	含义
1	同样重要性
3	稍微重要
5	明显重要
7	强烈重要
9	极端重要
2,4,6,8	上述两相邻判断的中值
倒数	A和B相比如果标度为3，那么B和A相比就是1/3

	景色	花费	居住	饮食	交通
景色	1	1/2	4	3	3
花费	2	1	7	5	5
居住	1/4	1/7	1	1/2	1/3
饮食	1/3	1/5	2	1	1
交通	1/3	1/5	3	1	1

上述表为5×55×55×5的方阵，我们记为AAA，对应元素为aija_{ij}aij

（1）aija_{ij}aij的意义是，与指标jjj相比，iii的重要程度

（2）当i=ji=ji=j时，说明指标iii和指标jjj相同重要

（3）aij>0a_{ij}>0aij>0且满足aij×aji=1a_{ij}×a_{ji}=1aij×aji=1（我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）

就是层次分析法中的判断矩阵

一致矩阵

各行（各列）之间成倍数关系

aij×ajk=aika_{ij}×a_{jk}=a_{ik}aij×ajk=aik

在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验

一致性检验

aij>0,a11=a22=……=ann=1,[ai1,ai2……]=ki[a11,a12……]a_{ij}>0,a_{11}=a_{22}=……=a_{nn}=1,[a_{i1},a_{i2……}]=k_i[a_{11},a_{12……}]aij>0,a11=a22=……=ann=1,[ai1,ai2……]=ki[a11,a12……]

一致性指标

1.CI=λmax−nn−1CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}CI=n−1λmax−n

2.查找一致性指标RIRIRI

3.一致性比例CR=CIRICR=\frac{CI}{RI}CR=RICI，之后与0.1比较

一致矩阵计算权重

判断矩阵计算权重

方法1：算术平均法求权重

1、将判断矩阵按照列归一化

2、按归一化的各列相加

3、将相加后得到的向量中除以n即可得到权重向量
ωi=1n∑j=1naij∑k=1nakj\omega_i=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^{n}a_{kj}} ωi=n1j=1∑n∑k=1nakjaij
方法2：几何平均法求权重

1、将A的元素按照行想成得到一个新的列向量

2、将新的向量的每个分量开n次方

3、对该列向量进行归一化即可得到权重向量
ωi=(∏j=1naij)1n∑k=1n(∏j=1naij)1n\omega_i=\frac{(\prod_{j=1}^{n}a_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^{n}(\prod_{j=1}^{n}a_{ij})^{\frac{1}{n}}} ωi=∑k=1n(∏j=1naij)n1(∏j=1naij)n1
方法3：特征值法求权重（使用最多）

一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值为0

特征值为n时，对应的特征向量正好为k[1a11,1a12,……,1a1n]Tk[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}},……,\frac{1}{a_{1n}}]^Tk[a111,a121,……,a1n1]T,这一特征向量正好就是一致矩阵的第一列，（权重一定要进行归一化处理）

（用PPT中SmartArt生成）（亿图图示）（draw.io）

判断矩阵O−CO-CO−C

判断矩阵C1−P,C2−PC1-P,C2-PC1−P,C2−P

可以利用题目数据进行计算

建议比赛时三种方法都使用

总结

步骤

1、计算一致性指标

2、查找对应的平均随机一致性指标

3、计算一致性比例

4、计算各层元素对系统目标的合成权重，进行排序

局限性

1、评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异会很大

时三种方法都使用

总结

步骤