定义

  层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。

通常用于解决数学建模中的评价类问题。

例题

小明想利用寒假时间外出旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择了杭州、北戴河和桂林三地作为目标景点。
    请你确定评价指标，形成评价体系来帮助小明选择最合适的旅游地点。

步骤

• 确定评价指标
     我们需要考虑什么指标可以作为评价我们旅游地点的理想与否，这个过程可以通过上网搜索相关文献确定或者小组成员的头脑风暴。
    经过思考后，小明将景色、费用、住宿、饮食和交通作为此次评价的指标。
    如图所示，“旅游”作为我们的目标层，“景色、费用、住宿、饮食和交通”作为我们的决策层，“北戴河、杭州和桂林”则作为我们的方案层。

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  旅游

  景色

  北戴河

  杭州

  桂林

  费用

  住宿

  饮食

  交通

• 构造判断矩阵

将此表格填充完整，所得的数据就是我们想要的判断矩阵，如何填写步骤如下：
    1.两两比较确定矩阵数值

  自主打分完成后，我们可以得到一个 3 ∗ 3 3*3 3∗3的矩阵，记为A，对应元素为 a i j a_{ij} aij​，因为 a i j a_{ij} aij​ > 1 且 >1且 >1且 a i j a_{ij} aij​ ∗ * ∗ a j i a_{ji} aji​ = = = 1 1 1，所以该矩阵也叫作正互反矩阵。
例如得到如下表格：

  我们不难发现，据表所示杭州的风景比北戴河好，和桂林一样好，但是北戴河又比桂林景色好，所以显然这里出现了矛盾。
再对比下面两张表格，

  很显然，第一张表格数据在逻辑上是完全一致的，于是根据第一张表格所得到的矩阵我们称为一致矩阵，其特点是各行（各列）之间呈倍数关系。但在实际操作中，我们很难做到完全一致（如第二张表格所示），于是我们在计算权重之前，还需要对不一致的矩阵进行一致性检验。

• 一致性检验
     n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值 λ m a x \lambda_{max} λmax​ = n {=n} =n，其余特征值¹均为0；且当正互反矩阵A非一致时，一定满足 λ m a x \lambda_{max} λmax​ > n {>n} >n。判断矩阵越不一致，最大特征值与n相差就越大。
  1.计算一致性指标CI
  C I = λ m a x − n n − 1 CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1} CI=n−1λmax​−n​
  2.查找对应的平均随机一致性指标RI
  
  3.计算一致性比例
  C R = C I R I CR=\frac{CI}{RI} CR=RICI​  如果 C R < 0.1 CR<0.1 CR<0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。

• 计算权重
    一致矩阵计算权重：任意选择一列计算，用上图一致矩阵作例可得，
  ω 1 = 1 1 + 0.5 + 0.25 , ω 2 = 0.5 1 + 0.5 + 0.25 , ω 3 = 0.25 1 + 0.5 + 0.25 \omega_1=\frac{1}{1+0.5+0.25}, \omega_2=\frac{0.5}{1+0.5+0.25}, \omega_3=\frac{0.25}{1+0.5+0.25} ω1​=1+0.5+0.251​,ω2​=1+0.5+0.250.5​,ω3​=1+0.5+0.250.25​
      1.算术平均法
    (1)将判断矩阵按照列进行归一化（每个元素除以其所在列的和)
    （2）将归一化的各列按行求和
    （3）将相加后得到的向量中每个元素除以n可得权重
     由于三列数据并不成比例，所以以归一化后的三个值的平均值作为该地对于景色所占的权重，即若判断矩阵A为
  A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​
  则计算权重公式为，
  ω i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) \omega_i=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} \frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^{n}a_{kj}} ,(i=1,2,...,n) ωi​=n1​j=1∑n​∑k=1n​akj​aij​​,(i=1,2,...,n)

2.几何平均法
（1）按行相乘得到一个新的列向量
（2）将新的响亮的每个分量开n次方根
（3）对该列向量进行归一化即可得到权重向量
即若判断矩阵A为
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​
则计算权重公式为，
ω i = ( ∏ j = 1 n a i j ) 1 n ∑ k = 1 n ( ∏ j = 1 n a k j ) 1 n , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) \omega_i=\frac{(\displaystyle\prod_{j=1}^{n} a_{ij})^\frac{1}{n}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(\displaystyle\prod_{j=1}^{n} a_{kj})^\frac{1}{n}},(i=1,2,...,n) ωi​=k=1∑n​(j=1∏n​akj​)n1​(j=1∏n​aij​)n1​​,(i=1,2,...,n)
    3.特征值法
（1）计算矩阵A的最大特征值以及其所对应的特征向量
（2）对求出的特征向量进行归一化，即可得我们想要的权重

  比较三种方法所得权重发现，三种方法所得结果差距很小，但是在数模比赛中可以三种方法都使用后再求均值得到最终权重，以增强可靠性严谨性。
  最终，可将所得数据填入表如下图所示，

  重复上述步骤可将该表格的二三四列填充完整，第一列数据的判断矩阵由下表构造，

• 计算方案得分
  完成数据计算后表格如下所示，

  计算杭州最终得分为两三两列数据对应相乘，
= 0.2636 ∗ 0.5954 + 0.4758 ∗ 0.0819 + 0.0538 ∗ 0.4286 + 0.0981 ∗ 0.6337 + 0.1087 ∗ 0.1667 = 0.299 =0.2636*0.5954+0.4758*0.0819+0.0538*0.4286+0.0981*0.6337+0.1087*0.1667=0.299 =0.2636∗0.5954+0.4758∗0.0819+0.0538∗0.4286+0.0981∗0.6337+0.1087∗0.1667=0.299
  依次计算出北戴河和桂林的得分分别为0.245和0.455，最终小明选择桂林作为他的旅游地。

细节补充

1、一致矩阵不需要做一致性检验。
2、如果 C R > 0.1 CR>0.1 CR>0.1如何修正？
  因为一致矩阵的特点是各行\各列数据成比例，所以…懂吧？
3、层次分析法也有局限性，比如说：评价的决策层越多，即n越大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大；判断矩阵由自己填入，主观性很大。
4、小技巧：在Excel中，F4可以锁定单元格，为计算带来便利。

应用实例

该篇为学习完清风老师B站层次分析法课程后所记。

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