【数学建模】清风数学建模笔记之——层次分析法
文章目录
- 前言
- 一、建模步骤
- 二、模型实现
- 1. 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构
- 2、对于同一层次的个元素关于上一层次中某一准则的重要性两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。
- 在这里插入图片描述
- 3、 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。
- 总结
前言
层次分析法主要运用解决评价类问题，属于基础模型算法。
提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考
一、建模步骤
层次分析法进行建模，大致分为以下四步：
- 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。
- 对于同一层次的个元素关于上一层次中某一准则的重要性两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。
- 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。
- 填充权重矩阵，根据矩阵计算得分，得出结果。
二、模型实现
填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择了苏杭，北戴河和桂林三地之一作为目标景点
请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。
1. 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构
首先，需要明确以下三个问题：
- 我们评价的 目标 是什么？ 答：为小明同学选择最佳的旅游景点。
- 评价的 准则 或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏） 答：景色、花费、居住、饮食、交通。
- 我们为了达到这个目标有哪几种可选的 方案 ？ 答：三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
根据以上问题，建立层次结构图，旅游地选择层次结构图如下:
以上图片通过亿图图示所生成
2、对于同一层次的个元素关于上一层次中某一准则的重要性两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。
如何填满这个表格需要用判断矩阵得出
由上文可知得到这个判断矩阵实际上要分别得出准则层关于目标层的一组权重向量，方案层关于准则层的五组权重向量，实际上我们就需要构造出一个准则层关于目标层的判断矩阵以及五个方案层关于准则层的矩阵，一共六个判断矩阵。（这里采用分治的思想）最终在经过权重计算每组得出一组权重向量，填到相应的表格中。构造的6个判断矩阵如下：
接下来，我们看一下，每个位置应该怎么填。
注意：这个位置不是随便填的，因为影响因子占比很大，有可能第一天我们看重景色，把景色权重写的占比大一些，第二天我们看重饮食了，就把饮食占比大一些，因而常常考虑不周全，而使得不易定量化。所以需要两两比较得出判断矩阵，而两两比较得出重要性填到矩阵中。重要程度如下表：
| 标度 | 含义 |
|---|---|
| 1 | 表示两个因素相比，具有同样重要性 |
| 3 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 |
| 5 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 |
| 7 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 |
| 9 | 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 |
| 2、4、6、8 | 上述两相邻判断的中值 |
| 倒数 | A和B相比如果标度为3，那么B和A相比就是1/3 |
根据以上这个表格，我们人为的进行填充，得到了下面这个判断矩阵：（实际情况下都是专家填的，但是比赛中大都是我们自己填的，最好有一些理论的依据支撑）
#pic_center=300*200
观察一下：上面这个判断矩阵有如下特点：
1.aij 表示的意义是，与指标j相比， i的重要程度
2.当i= j时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1
3.aj >0 且满足 aij × aji = 1 (我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵)
其余五个矩阵如下图：
3、 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。
总结
- 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。
- 对于同一层次的个元素关于上一层次中某一准则的重要性两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。
- 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。
- 填充权重矩阵，根据矩阵计算得分，得出结果。
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