数论——中国剩余定理及其扩展详解

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概述
中国剩余定理扩展
- 例题
总结

概述

引入：

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
概述：
孙子定理，又称中国剩余定理或中国余数定理，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。
内容
用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2,...,mnm_1, m_2, ... , m_nm1,m2,...,mn其中任两数互质，则对任意的整数：a1,a2,...,ana_1, a_2, ... , a_na1,a2,...,an，方程组(S){\displaystyle (S)}(S)有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
1. 设M=m1×m2×⋯×mn=∏i=1nmi{\displaystyle M=m_{1}\times m_{2}\times \cdots \times m_{n}=\prod _{i=1}^{n}m_{i}}M=m1×m2×⋯×mn=i=1∏nmi是整数m1,m2,...,mnm_1, m_2, ... , m_nm1,m2,...,mn的乘积，并设Mi=M/mi,∀i∈{1,2,⋯,n}Mi=M/mi,∀i∈{1,2,⋯,n}{\displaystyle M_{i}=M/m_{i},\;\;\forall i\in \{1,2,\cdots ,n\}}M_i = M/m_i, \; \; \forall i \in \{1, 2, \cdots , n\}Mi=M/mi,∀i∈{1,2,⋯,n}Mi=M/mi,∀i∈{1,2,⋯,n}，即Mi{\displaystyle M_{i}}Mi是除了mim_imi以外的n − 1个整数的乘积。
2. 设ti=Mi−1为Mi{\displaystyle t_{i}=M_{i}^{-1}}为{\displaystyle M_{i}}ti=Mi−1为Mi模mi的逆元：tiMi≡1(modmi),∀i∈{1,2,⋯,n}.{\displaystyle m_{i}}的逆元：{\displaystyle t_{i}M_{i}\equiv 1{\pmod {m_{i}}},\;\;\forall i\in \{1,2,\cdots ,n\}.}mi的逆元：tiMi≡1(modmi),∀i∈{1,2,⋯,n}.
3. 方程组(S)的通解形式为：方程组{\displaystyle (S)}的通解形式为：方程组(S)的通解形式为：x=a1t1M1+a2t2M2+⋯+antnMn+kM=kM+∑i=1naitiMi,k∈Z.{\displaystyle x=a_{1}t_{1}M_{1}+a_{2}t_{2}M_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}M_{n}+kM=kM+\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i},\quad k\in \mathbb {Z} .}x=a1t1M1+a2t2M2+⋯+antnMn+kM=kM+i=1∑naitiMi,k∈Z.在模M的意义下，方程组(S)只有一个解：x=∑i=1naitiMi.在模{\displaystyle M}的意义下，方程组{\displaystyle (S)}只有一个解：{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i}.}在模M的意义下，方程组(S)只有一个解：x=i=1∑naitiMi.
证明：

def exgcd(a, b) :if b == 0 :return 1, 0, ax, y, d = exgcd(b, a % b)return y, x - (a // b) * y, d

def CRT(a, b) : #a, b分别是模数和余数M = 1X = 0for i in a :M *= ifor i in zip(a, b) :w = M // i[0]x, y, d = exgcd(w, i[0])X = (X + x * w * i[1]) % M  return (X % M + M) % M

中国剩余定理扩展

求解模数不互质情况下的线性方程组

原理说明：
普通中国剩余定理要求所有的模数mim_imi互素，如果不互素就需要使用扩展中国剩余定理
x≡a1(modm1){\displaystyle x\equiv a_1{\pmod {m_{1}}}}x≡a1(modm1) —— (1)
x≡a2(modm2){\displaystyle x\equiv a_2{\pmod {m_{2}}}}x≡a2(modm2) ——（2）
............
x≡an(modmn){\displaystyle x\equiv a_n{\pmod {m_{n}}}}x≡an(modmn)
对于（1）、（2）式，可得x=m1x1+a1x = m_1x_1+a_1x=m1x1+a1、x=m2x2+a2x = m_2x_2+a_2x=m2x2+a2
可以推出m1x1+a1=m2x2+a2m_1x_1 + a_1 = m_2x_2 + a_2m1x1+a1=m2x2+a2->m1x1=(a2−a1)+m2x2m_1x_1 = (a_2 - a_1) + m_2x_2m1x1=(a2−a1)+m2x2
如果该式成立则gcd(m1,m2)∣(a2−a1)gcd(m_1,m_2) | (a_2 - a_1)gcd(m1,m2)∣(a2−a1)
->m1x1=(a2−a1)(modm2)m_1x_1 = (a_2 - a_1) (mod\ m_2)m1x1=(a2−a1)(mod m2)
要求x最小，即求x1x_1x1最小，使用扩展欧几里得算法exgcd(m1,m2)exgcd(m_1, m_2)exgcd(m1,m2)求出最小公约数d以及m1/dm_1/dm1/d的逆，最小x1≡(a2−a1)/d∗(m1/d)−1(modm2/d)x_1 \equiv(a_2 - a_1)/d * {(m_1/d)^{-1}}(mod \ m_2/d)x1≡(a2−a1)/d∗(m1/d)−1(mod m2/d)。
所以x1取最小值，x1=[(a2−a1)/d∗(m1/d)−1+m2/d]%(m2/d)x_1取最小值，x1 = [(a_2 - a_1)/d * {(m_1/d)^{-1}} + m_2 / d] \% (m_2 / d)x1取最小值，x1=[(a2−a1)/d∗(m1/d)−1+m2/d]%(m2/d)
代入x=m1x1+a1x = m_1x_1+a_1x=m1x1+a1
得到一个x=(m1∗m2)/d∗k+a1+m1∗(a2−a1)/d∗(m1/d)−1x = (m_1 * m _2) / d * k + a_1 + m_1 * (a_2 - a_1)/d* {(m_1/d)^{-1}}x=(m1∗m2)/d∗k+a1+m1∗(a2−a1)/d∗(m1/d)−1
则k可视为一个新的xxx,a1+m1∗(a2−a1)/d∗(m1/d)−1a_1 + m_1 * (a_2 - a_1)/d* {(m_1/d)^{-1}}a1+m1∗(a2−a1)/d∗(m1/d)−1可视为新的a

例题

n = int(input())
def exgcd(a, b) :if b == 0 :return 1, 0, ax, y, g = exgcd(b, a % b)return y, x - (a // b) * y, g
x = 0
m1, a1 = map(int, input().split())for i in range(n - 1):m2, a2 =  map(int, input().split())k1, k2, d = exgcd(m1, m2)k1 *= (a2 - a1) // dk1 = (k1 % (m2 // d) + (m2 // d)) % (m2 // d) ###求最小正整数x = k1 * m1 + a1m1 = abs(m1 * m2 // d)a1 = x
if x != -1 :x = (a1 % m1 + m1) % m1
print(x)

总结

中国剩余定理真孙子，太难啦，我要成孙子了。

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