数论 · 中国剩余定理（CRT）

UPDATE

2021 - 12 - 10：补充扩展中国剩余定理

EXCRT，额外开了一篇博客写。
2021 - 12 - 21：修改了一两句话，更严谨一些。

问题概述

小奥里的韩信点兵问题：

{ x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) ⋯ x ≡ a k ( m o d m k ) \begin{cases}x\equiv{a_1}\pmod{m_1}\\x\equiv{a_2}\pmod{m_2}\\\cdots\\x\equiv{a_k}\pmod{m_k}\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)⋯x≡ak(modmk)

m m m 数组的数两两互质，求 x x x 的最小非负整数解。

求解

构造一个数组 ans，使得 ∀ i ∈ [ 1 , k ] \forall\ i \in [1,k] ∀ i∈[1,k]：

{ a n s i ≡ 0 ( m o d m 1 ) ⋯ a n s i ≡ a i ( m o d m i ) ⋯ a n s i ≡ 0 ( m o d m k ) \begin{cases}{ans_i} \equiv 0 \pmod{m_1}\\ \cdots\\ {ans_i} \equiv {a_i} \pmod{m_i}\\ \cdots \\ {ans_i} \equiv 0\pmod {m_k}\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ansi≡0(modm1)⋯ansi≡ai(modmi)⋯ansi≡0(modmk)

易得：
a n s i = ( ∏ i = 1 k m i ( i ≠ j ) ) × a i × e i ans_i = (\prod_{i=1} ^ k m_i (i\ne j)) \times a_i \times e_i ansi=(i=1∏kmi(i=j))×ai×ei

e i e_i ei 为我们仍不知道的数。

不妨令 $M\gets \prod_{i=1} ^ k m_i $，

就可以推出：
$
\dfrac{M}{m_i} \times e_i \equiv 1 \pmod {m_i}
$，即 e i e_i ei 即为 M m i \dfrac{M}{m_i} miM 在取模 m i m_i mi 意义下的逆元。

此处用扩展欧几里得求逆元，在输入时也一起统计好 M M M。

最后的答案就是：
$
\sum\limits_{i=1}^k ans_i\ \bmod M
$

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;#define int long long
#define rint register int
int n, p;
int x, y;inline int read ()
{int x = 1, s = 0;char ch = getchar ();while (ch < '0' or ch > '9') {if (ch == '-') x = -1; ch = getchar ();}while (ch >= '0' and ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar ();return x * s;
}inline void write (int x)
{if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 ^ 48);
}inline void exgcd (int a, int b)
{if (!b){x = 1, y = 0;return;}exgcd (b, a % b);int t = x;x = y, y = t - a / b * y;
}const int maxn = 15;
int a[maxn], b[maxn], ans;
int mul = 1, mi[maxn];signed main ()
{n = read ();for (rint i (1); i <= n; ++i){a[i] = read (), b[i] = read ();mul *= a[i];}for (rint i (1); i <= n; ++i){mi[i] = mul / a[i];exgcd (mi[i], a[i]);ans += b[i] * mi[i] * (x > 0 ? x : x + a[i]);}write (ans % mul);return 0;
}

例题

UVA756 Biorhythms

EXCRT

详见：《数论 · 扩展中国剩余定理（EXCRT）》

—— E n d End End——