线性代数Python计算：线性变换的值域与核

设数域PPP上的向量空间PnP^nPn的线性变换TTT，在某个基下其变换矩阵A=(α1,α2,⋯,αn)\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n)A=(α1,α2,⋯,αn)。TTT的值域T(Pn)T(P^n)T(Pn)为α1,α2,⋯,α1\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_1α1,α2,⋯,α1的生成空间，TTT的核K(T)K(T)K(T)为Ax=o\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{o}Ax=o的解空间。因此，只要构造出TTT在PnP^nPn的某个基底下的矩阵A\boldsymbol{A}A，利用博文《向量组的最大无关组计算》定义的maxIndepGrp函数，计算α1,α2,⋯,αn\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_nα1,α2,⋯,αn的最大无关组，就是T(Pn)T(P^n)T(Pn)的基底。用博文《线性方程组的通解》定义的mySolve函数，计算Ax=o\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{o}Ax=o的基础解系，就是K(T)K(T)K(T)的基底。
例1 用Python计算在ℝ4^44的自然基上矩阵为A=(1021−121312552−21−2)∈\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&0&2&1\\-1&2&1&3\\1&2&5&5\\2&-2&1&-2\end{pmatrix}\inA=⎝⎜⎜⎛1−112022−22151135−2⎠⎟⎟⎞∈ℝ2×2^{2\times2}2×2的线性变换TTT的值域T(T(T(ℝ4)^4)4)与核K(T)K(T)K(T)。

import numpy as np                               #导入numpy
from fractions import Fraction as F                 #导入Fraction
np.set_printoptions(formatter=                      #设置输出数据格式{'all':lambda x:str(F(x).limit_denominator())})
A=np.array([[1,0,2,1],                             #设置矩阵A[-1,2,1,3],[1,2,5,5],[2,-2,1,-2]],dtype='float')
r,ind,_=maxIndepGrp(A)                             #A的列向量最大无关组
print('值域基底：')
print(A[:,ind[:r]])
o=np.array([0,0,0,0]).reshape(4,1)
X=mySolve(A,o)                                     #Ax=o的解集
print('核基底：')
print(X[:,1:])

程序的第5~8行设置线性变换矩阵A。第9行调用maxIndepGrp函数（见博文《向量组的最大无关组计算》）计算矩阵A中列向量的最大无关组，返回A的秩r和表示A中各列调整后的顺序ind，ind[0:r]（或简略为ind[:r]）为列向量的最大无关组下标。第11行输出A中列向量最大无关组作为值域的基底。第13行调用mySolve函数（见博文《线性方程组的通解》），计算齐次线性方程组Ax=o\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{o}Ax=o的解空间X。回忆X中第1列为零解，基础解系存于X[:,1:]中，第15行作为核的基底输出之。运行程序，输出

值域基底：
[[ 1  0][-1  2][ 1  2][ 2 -2]]
核基底：
[[ -2  -1][-3/2 -2][  1   0][  0   1]]

即T(T(T(ℝ4)={x∣x=λ1(1−112)+λ2(022−2)},λ1,λ2∈^4)=\{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}=\lambda_1\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\2\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}0\\2\\2\\-2\end{pmatrix}\},\lambda_1,\lambda_2\in4)={x∣x=λ1⎝⎜⎜⎛1−112⎠⎟⎟⎞+λ2⎝⎜⎜⎛022−2⎠⎟⎟⎞},λ1,λ2∈ℝ，K(T)={x∣x=c1(−2−3210)+c2(−1−201)},c1,c2∈K(T)=\{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}=c_1\begin{pmatrix}-2\\-\frac{3}{2}\\1\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}\},c_1,c_2\inK(T)={x∣x=c1⎝⎜⎜⎛−2−2310⎠⎟⎟⎞+c2⎝⎜⎜⎛−1−201⎠⎟⎟⎞},c1,c2∈ℝ。
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