第二十五讲用线性代数解微分方程组

一，上一讲的例题，如图：

设x=T1x=T_1x=T1，y=T2y=T_2y=T2
方程组为·：{x′=−2x+2yy′=2x−5y\left\{\begin{matrix}{x}'=-2x+2y\\ {y}'=2x-5y\end{matrix}\right.{x′=−2x+2yy′=2x−5y
用消元法求出的通解为：{x=c1e−t+c2e−6ty=12c1e−t−2c2e−6t\left\{\begin{matrix}x=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{-6t}\\ y=\frac{1}{2}c_{1}e^{-t}-2c_{2}e^{-6t}\end{matrix}\right.{x=c1e−t+c2e−6ty=21c1e−t−2c2e−6t

二，用矩阵重新表示方程组：
[x′y′]=[−222−5][xy]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}[x′y′]=[−222−5][xy]

三，用矩阵重新表示通解：
[xy]=c1[112]e−t+c2[1−2]e−6t\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}e^{-t}+c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-6t}[xy]=c1[121]e−t+c2[1−2]e−6t

四，设解的形式为：
[xy]=[a1a2]eλt\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t}[xy]=[a1a2]eλt

五，将解带入方程组：
[x′y′]=λ[a1a2]eλt=[−222−5][a1a2]eλt=[−222−5][xy]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\lambda \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}e^{\lambda t}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}[x′y′]=λ[a1a2]eλt=[−222−5][a1a2]eλt=[−222−5][xy]

六，化简，求出特征值：

λ[a1a2]=[−222−5][a1a2]\lambda \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}λ[a1a2]=[−222−5][a1a2]
[−222−5][a1a2]−λ[a1a2]=0\begin{bmatrix}-2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}-\lambda \begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=0[−222−5][a1a2]−λ[a1a2]=0
[−2−λ22−5−λ][a1a2]=0\begin{bmatrix}-2-\lambda &2 \\ 2 & -5-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}=0[−2−λ22−5−λ][a1a2]=0
要使等式有非0解，必须满足：∣−2−λ22−5−λ∣=0\begin{vmatrix}-2-\lambda & 2 \\ 2 & -5-\lambda \end{vmatrix}=0∣∣∣∣−2−λ22−5−λ∣∣∣∣=0
解得：λ1=−1,λ2=−6\lambda _{1}=-1, \lambda _{2}=-6λ1=−1,λ2=−6，（答案跟上一讲求的特征值一样）

七，将λ1\lambda _{1}λ1和λ2\lambda _{2}λ2分别代入等式，求出特征向量：

将λ1\lambda _{1}λ1代入：[−122−4][a1a2]=0\begin{bmatrix}-1 &2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}=0[−122−4][a1a2]=0
设自由变量a1=1a_{1}=1a1=1，则a2=12a_{2}=\frac{1}{2}a2=21，[a1a2]=c1[112]\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}[a1a2]=c1[121]，c1c_{1}c1为任意常数
[xy]=[a1a2]eλt=c1[112]e−t\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}e^{-t}[xy]=[a1a2]eλt=c1[121]e−t
将λ2\lambda _{2}λ2代入：[4221][a1a2]=0\begin{bmatrix}4 &2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}=0[4221][a1a2]=0
设自由变量a1=1a_{1}=1a1=1，则a2=−2a_{2}=-2a2=−2，[a1a2]=c2[1−2]\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ -2\end{bmatrix}[a1a2]=c2[1−2]，c2c_{2}c2为任意常数
[xy]=[a1a2]eλt=c2[1−2]e−6t\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t}=c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ -2\end{bmatrix}e^{-6t}[xy]=[a1a2]eλt=c2[1−2]e−6t

八，得解空间：
[xy]=c1[112]e−t+c2[1−2]e−6t\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}e^{-t}+c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-6t}[xy]=c1[121]e−t+c2[1−2]e−6t

九，二阶矩阵的特征值是如下方程的解：
λ2−trace(A)λ+detA=0\lambda ^{2}-trace(A)\lambda +detA =0λ2−trace(A)λ+detA=0
trace(A)是A的迹，detA是A的行列式

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