第二十七讲微分方程组解的图像

一，竞争模型（含参数的微分方程组）：
{x′=−x+byy′=cx−3y\left\{\begin{matrix}{x}'=-x+by \\ {y}'=cx-3y\end{matrix}\right.{x′=−x+byy′=cx−3y
这个模型是上海和北京之间的旅游竞争，两个地方都忙于做广告，想要吸引游客
x′{x}'x′代表上海，y′{y}'y′代表北京
x和y分别代表上海和北京的偏离常态旅游广告预算的值
x或y前面的系数=0代表预算维持常态
x或y前面的系数<0代表预算减少（通常政府希望尽量节约预算）
x或y前面的系数>0代表预算增加（但是企业家希望政府搞活地方经济）
b和c表示参照竞争对手的预算，做的预算调整

二，第一种参数情况（b=2，c=0）：
{x′=−x+2yy′=−3y\left\{\begin{matrix}{x}'=-x+2y \\ {y}'=-3y\end{matrix}\right.{x′=−x+2yy′=−3y
含义：上海预算表现积极，但北京表现平静（无视上海预算）

矩阵化：[x′y′]=[−120−3][xy]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 2\\ 0 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}[x′y′]=[−102−3][xy]
根据二阶矩阵公式得：λ2+4λ+3=0\lambda ^{2}+4\lambda +3=0λ2+4λ+3=0，λ1=−3，λ2=−1\lambda _{1}=-3，\lambda _{2}=-1λ1=−3，λ2=−1
将λ1=−3\lambda _{1}=-3λ1=−3代入[−1−λ20−3−λ][a1a2]=0\begin{bmatrix}-1-\lambda & 2\\ 0 & -3-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix}=0[−1−λ02−3−λ][a1a2]=0，得：[2200][a1a2]=0\begin{bmatrix}2 & 2\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix}=0[2020][a1a2]=0
设自由变量a1=1a_{1}=1a1=1，得：[a1a2]=c1[1−1]\begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}[a1a2]=c1[1−1]，c1c_{1}c1是任意常数
将λ1=−1\lambda _{1}=-1λ1=−1代入[−1−λ20−3−λ][a1a2]=0\begin{bmatrix}-1-\lambda & 2\\ 0 & -3-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix}=0[−1−λ02−3−λ][a1a2]=0，得：[020−2][a1a2]=0\begin{bmatrix}0 & 2\\ 0 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix}=0[002−2][a1a2]=0
设自由变量a2=0a_{2}=0a2=0，得：[a1a2]=c2[10]\begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix}=c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}[a1a2]=c2[10]，c2c_{2}c2是任意常数
通解：[xy]=c1[1−1]e−3t+c2[10]e−t\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}e^{-3t }+c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}e^{-t }[xy]=c1[1−1]e−3t+c2[10]e−t
方程组化：{x=c1e−3t+c2e−ty=−c1e−3t\left\{\begin{matrix}x=c_{1}e^{-3t }+c_{2}e^{-t }\\ y=-c_{1}e^{-3t }\end{matrix}\right.{x=c1e−3t+c2e−ty=−c1e−3t

三，绘制解的图像：
方程组里隐藏着容易画出的4个解，因此从容易画的开始，再补充其他解。

容易的4个解是：c1=±1,c2=0c_{1}=\pm 1,c_{2}=0c1=±1,c2=0（用粉红色线画）和c1=0,c2=±1c_{1}=0,c_{2}=\pm 1c1=0,c2=±1（用橙色线画）
当c1=1,c2=0c_{1}=1,c_{2}=0c1=1,c2=0时：{x=e−3ty=−e−3t\left\{\begin{matrix}x=e^{-3t }\\ y=-e^{-3t }\end{matrix}\right.{x=e−3ty=−e−3t
当t=0时：{x=1y=−1\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=-1\end{matrix}\right.{x=1y=−1，当t→∞时，x和y都→0，当t→-∞时，x→∞，y→-∞，如图：
当c1=−1,c2=0c_{1}=-1,c_{2}=0c1=−1,c2=0时：图像刚好对称，如图
当c1=0,c2=1c_{1}=0,c_{2}=1c1=0,c2=1时：{x=e−ty=0\left\{\begin{matrix}x=e^{-t }\\ y=0\end{matrix}\right.{x=e−ty=0
当t=0时：{x=1y=0\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=0\end{matrix}\right.{x=1y=0，当t→∞时，x和y都→0，当t→-∞时，x→∞，如图：
当c1=0,c2=−1c_{1}=0,c_{2}=-1c1=0,c2=−1时：图像刚好对称，如图
因为当t→∞时，通解[xy]=c1[1−1]e−3t+c2[10]e−t\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}e^{-3t }+c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}e^{-t }[xy]=c1[1−1]e−3t+c2[10]e−t→0，因此所有线条的终点都是0点。
在t→∞的过程中，c1[1−1]e−3tc_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}e^{-3t }c1[1−1]e−3t→0的速度要大于c2[10]e−tc_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}e^{-t }c2[10]e−t，c2[10]e−tc_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}e^{-t }c2[10]e−t占主导地位。[xy]=0+c2[10]e−t\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=0+c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}e^{-t }[xy]=0+c2[10]e−t，相当于在0点附近和c2c_{2}c2线越来越重合。
在t→-∞的过程中，则相反，c1[1−1]e−3tc_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}e^{-3t }c1[1−1]e−3t占主导地位。在t→-∞的过程中，则相反，c1[1−1]e−3tc_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}e^{-3t }c1[1−1]e−3t占主导地位。[xy]=c1[1−1]e−3t+c2[10]e−t\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}e^{-3t }+c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}e^{-t }[xy]=c1[1−1]e−3t+c2[10]e−t，相当于在远离0点的范围和c2c_{2}c2线越来越平行。
其他解的图像如图（绿色线）：
汇聚节点：线型轨迹从无穷远，最终汇聚到0点（稳定）
源节点：线型轨迹从0点出发，发散到无穷远（不稳定）
结果：由于北京市市长对上海的预算漠不关心，所以最终两市的预算回到常态（x和y都=0）

四，第二种参数情况（b=3，c=5）：
{x′=−x+3yy′=5x−3y\left\{\begin{matrix}{x}'=-x+3y \\ {y}'=5x-3y\end{matrix}\right.{x′=−x+3yy′=5x−3y
含义：上海对北京的预算变得更加敏感，北京则对上海预算的反应变本加厉

解微分方程组，过程省略了
通解：[xy]=c1[3−5]e−6t+c2[11]e2t\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}3 \\ -5\end{bmatrix}e^{-6t }+c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}e^{2t }[xy]=c1[3−5]e−6t+c2[11]e2t
方程组化：{x=3c1e−6t+c2e2ty=−5c1e−6t+c2e2t\left\{\begin{matrix}x=3c_{1}e^{-6t }+c_{2}e^{2t }\\ y=-5c_{1}e^{-6t }+c_{2}e^{2t }\end{matrix}\right.{x=3c1e−6t+c2e2ty=−5c1e−6t+c2e2t
绘制解的图像：容易的4个解是：c1=±1,c2=0c_{1}=\pm 1,c_{2}=0c1=±1,c2=0（用粉红色线画）和c1=0,c2=±1c_{1}=0,c_{2}=\pm 1c1=0,c2=±1（用橙色线画），其他解（绿色线）。
鞍点：上图中坐标0点，从粉红线看是最大值，从橙色线看是最小值。（不稳定）
鞍：整个图像叫做鞍。
结果：由于上海和北京不断加码，导致预算一发不可收拾，而游客数量旗鼓相当。

五，第三种参数情况（b=-1，c=2）：
{x′=−x−yy′=2x−3y\left\{\begin{matrix}{x}'=-x-y \\ {y}'=2x-3y\end{matrix}\right.{x′=−x−yy′=2x−3y
含义：北京预算表现积极，但上海反而消极（佛系）

解微分方程组，过程省略了
特征值：λ1=−2+i，λ2=−2−i\lambda _{1}=-2+i，\lambda _{2}=-2-iλ1=−2+i，λ2=−2−i
e(−2+i)t=e−2t+eite^{(-2+i)t }=e^{-2t }+e^{it }e(−2+i)t=e−2t+eit，当t→∞时，e−2t→0e^{-2t }→0e−2t→0，eite^{it }eit在单位圆上旋转
通解的形式：[xy]=c1[[a1a2]cos(t)+[b1b2]sin(t)]e−2t\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=c_{1}[\begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix}cos(t)+\begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{bmatrix}sin(t)]e^{-2t }[xy]=c1[[a1a2]cos(t)+[b1b2]sin(t)]e−2t+…
[xy]=[a1a2]cos(t)+[b1b2]sin(t)\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix}cos(t)+\begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{bmatrix}sin(t)[xy]=[a1a2]cos(t)+[b1b2]sin(t)的图像性质：这个曲线有边界，且周期为2π，并满足一个椭圆方程：Ax2+By2+Cxy=DAx^{2}+By^{2}+Cxy=DAx2+By2+Cxy=D，
e−2te^{-2t }e−2t表示曲线收缩的幅值
如图
中心点叫螺旋汇聚点
方向沿逆时针转动：只需将点[xy]=[10]\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}[xy]=[10]代入方程组，得该点的速度向量[x′y′]=[−12]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\ 2\end{bmatrix}[x′y′]=[−12]，如图：
结果：由于上海是佛系市长，最终两市的预算回到常态（x和y都=0）

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