3D空间中的向量

向量：只有长度和方向，不含有位置信息的量，也就是说，两个向量只要长度和方向相同，则二者相同。

左手坐标系和右手坐标系

同样是三维的坐标系，两者的差别在Z轴上面。在左手坐标系中，Z轴正向穿入纸面；右手坐标系中，Z轴正向穿出纸面

当某一向量的其起始坐标和坐标系的原点重合的时候，我们称该向量处于标准位置。

用来描述向量坐标的，称之为分量。

当某一个向量的起始位置在坐标系的原点，也就是处于标准位置的向量，我们描述他的时候，使用的其终点位置的坐标来描述他，这样很容易将向量和某一点的描述混合，所以主要区分两者的标准就是，点只是描述了位置，但是向量描述了长度和方向。

4个特殊的3D向量

零向量：所有方向的分量都是0, 0 = (0,0,0)

其余三个向量我们称之为标准基向量：i,j,k，这三个向量分别在三个坐标系的x,y,z轴上：i = (1,0,0),j = (0,1,0),k = (0,0,1)。

游戏开发中我们使用到的数学计算，在我们的DX9的库里面，一一都提供好了，但是我们还是需要去理解他内部的原理。

注意：初次接触DX9的朋友，可以简单看看介绍：DX9百度百科，说明白一点，DX9就是一个库，里面提供了各种各样的API供我们使用，而我们即将介绍的向量的有关计算，矩阵的有关计算在DX9提供的库里面都会提供相应的API，让我们直接的计算。

里面也定义了各种各样的变量，来供我们使用。而我们刚才表示的3D空间中的向量，在DX9里面也有相应的表示，DX9有一个D3DX的一个库，我们用类D3DXVETOR3表示3D空间中的向量，这里附上源代码：D3DX库中表示3D空间向量的类：D3DXVECTOR3

此处主要介绍3D向量，但是在3D图形学里面，也经常使用2D或者4D向量，D3DX库里面提供了类：D3DXVECTOR2和D3DXVECTOR4来分别表示：2D以及4D向量，维数不同的向量都具有相同的属性就是：长度以及方向，只是维数不同。

向量相等

在几何学中只要两个向量的方向以及长度相等，那么两个向量就是相等的。但是在代数学中，两个向量除了长度相等以及方向相同之外，维数也必须相等，则二者相等。

在代码中我们可以通过重载“==”以及“！=”来判断两个向量是否相等。

例如：同样的三维向量，若：（Ux,Uy,Uz）=(Vx,Vy,Vz),则：Ux = Vx,Uy = Vy,Uz = Vz。反之也成立。

注意：通常我们在坐标的比较中，使用的是浮点数，由于浮点数的不精确性，我们认为两个相等的浮点数字可能有了略微的差别；所以我们应该测试他们是否近似相等，我们可以定义一个很小的常量：VALUE，然后将其作为误差容限，然后将比较的两个数字进行相减，如果两个数字的差是小于这个误差容限的，那么就认为这两个浮点数是相等的。下面的代码就说明了两个浮点数字是否相等：

#include "math.h"const float EPSILON = 0.1f;
bool Equal(float a, float b)
{//fabs函数是返回参数的绝对值return fabs(a - b) < EPSILON ? true : false;
}

计算向量的长度

几何学中，向量的模就是有向线段的长度。根据向量的个分量，我们就可以通过代数的方式计算向量的大小

||X||表示向量x的模。

在D3DX库里面有专门的函数来提供，用来计算向量的模:D3DXVecLength()

float D3DXVec3Length(const D3DXVECTOR* pv)

向量的规范化

向量的规范化就是让向量变成模为1的向量，也就是变成单位向量，模为1的向量就是单位向量。

把向量规范化的方法就是，让向量的每一个分量都去除该向量的模:

借助D3DX库，我们可以用如下函数实现向量的规范化。

D3DXVECTOR3 *D3DXVec3Normalize(D3DXVECTOR3 *pOut        //Resualtconst D3DXVECTOR3 *pV     //The vector to normalize
)

向量的加法

U + V = (Ux+Vx, Uy+Vy, Uz+Vz)

向量加法的几何解释

如果想在程序中使用向量的加法，只需要将加好重载一下就好了。

向量的减法

U - V = (Ux-Vx, Uy-Vy, Uz-Vz)

向量减法的几何解释

如果想在程序中使用向量的减法，只需重载一下减号。

数乘

kU = （kUx, kUy, kUz）

点积

u·v = UxVx + UyVy + UzVz

上述公式其实没有什么意义，但是通过余弦定理，可以发现：u·v = ||u||||v||cosλ，（λ是两个向量的夹角度数），

也就是两个向量的模的乘积在乘一个夹角的余弦值。如果两个向量都是单位向量。那么点积的值就是两个向量的余弦值。、

下面是有关点积一些有用的性质：

①若u·v = 0, 则u和v垂直；

②若u·v > 0，则两个向量的夹角小于90度；

③若u·v < 0，则两个向量的夹角大于90度；

我们可以利用D3DX库里面的以下函数来计算两个向量的点积：

float D3DXVecDot(const D3DXVECTOR3 *pV1const D3DXVECTOR3 *pV2
)

叉积

与点积不同，叉积的结果是另外一个向量，计算出来的向量，和原来的两个向量分别垂直。

计算公式：

例如：向量p是u和v的叉积，则p垂直于u，p也垂直于v

其分量形式为：

D3DX库中也有提供计算叉积的函数：

D3DXVECTOR3 *D3DXVecCross(D3DXVECTOR *pOut,D3DXVECTOR *pV1,D3DXVECTOR *pV2
)

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