游戏开发中的进阶向量数学

飞机
- 到飞机的距离
- 远离原点
- 以2D方式构建平面
- 飞机的一些例子
3D碰撞检测
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飞机

点积具有带有单位向量的另一个有趣的属性。想象一下，垂直于该矢量（并通过原点）的平面通过了一个平面。平面将整个空间分为正数（在平面上）和负数（在平面下），并且（与流行的看法相反），您还可以在2D中使用其数学运算：

垂直于曲面的单位向量（因此，它们描述了曲面的方向）称为单位法向向量。虽然，通常他们只是简称为法线。法线出现在飞机，3D几何（以确定其中每一个面或顶点板壁）等。通常是一个单位矢量，但它被称为正常，因为它的用法。（就像我们将（0,0）称为原点）。

看起来很简单。平面经过原点，并且其表面垂直于单位矢量（或法线）。指向向量的一侧为正半空间，而另一侧为负半空间。在3D中，这是完全相同的，除了平面是一个无限的表面（想象一个可以定向并固定到原点的无限的平纸）而不是一条线。

到飞机的距离

现在很清楚飞机是什么，让我们回到点积。单位矢量和空间中任何点之间的点积（是的，这次我们进行矢量和位置之间的点积），返回从点到平面的距离：

var distance = normal.Dot(point);

但是不仅是绝对距离，如果点在负半空间中，则距离也将为负：

这使我们能够知道一个点在平面的哪一侧。

远离原点

我知道你在想什么！到目前为止，这还不错，但是真实的飞机在空间中无处不在，不仅经过原点。你想真正的飞机的行动，你想它现在。

请记住，平面不仅将空间分成两部分，而且还具有极性。这意味着可以有完全重叠的平面，但是它们的负半空间和正半空间会互换。

考虑到这一点，让我们将整个平面描述为法线 N和距原点标量D的距离。因此，我们的平面由N和D表示。例如：

对于3D数学，Godot提供了Plane 内置类型来处理。

基本上，N和D可以表示空间中的任何平面，无论是2D还是3D（取决于N的维数），并且两者的数学公式相同。与以前相同，但是D是从原点到平面的距离，沿N方向行进。例如，假设您想到达飞机上的某个点，您将执行以下操作：

var pointInPlane = N * D;
这将拉伸（调整大小）法线向量并使之接触平面。这个数学运算看起来似乎很混乱，但是实际上比看起来要简单得多。如果我们想再次说出点到平面的距离，我们可以做同样的事情，只是要调整距离：

var distance = N.Dot(point) - D;

使用内置函数的相同操作：

var distance = plane.DistanceTo(point);

这将再次返回正或负距离。

可以通过使N和D都为负值来翻转平面的极性。这将导致平面处于相同的位置，但是具有负半角和正半角的反转：

N = -N;
D = -D;

当然，Godot也可以在Plane中实现此运算符，因此请执行以下操作：

var invertedPlane = -plane;

将按预期工作。

因此，请记住，飞机就是这样，它的主要实际用途是计算到它的距离。那么，为什么计算点到平面的距离有用呢？这非常有用！让我们看一些简单的例子。

以2D方式构建平面

平面显然不会从任何地方冒出来，因此必须进行构建。以2D方式构建它们很容易，可以从法线（单位矢量）和一个点，也可以从空间中的两个点完成。

对于法线和点，由于已经计算了法线，因此大部分工作都已完成，因此只需根据法线和点的点积计算D。

var N = normal;
var D = normal.Dot(point);

对于空间中的两个点，实际上有两个平面穿过它们，它们共享相同的空间，但法线指向相反的方向。要从两点计算法线，必须首先获取方向矢量，然后将其向任一侧旋转90°度：

// Calculate vector from `a` to `b`.
var dvec = (pointB - pointA).Normalized();
// Rotate 90 degrees.
var normal = new Vector2(dvec.y, -dvec.x);
// Alternatively (depending the desired side of the normal):
// var normal = new Vector2(-dvec.y, dvec.x);

其余部分与前面的示例相同，因为point_a或point_b都在同一平面上，所以它们都可以工作：

var N = normal;
var D = normal.Dot(pointA);
// this works the same
// var D = normal.Dot(pointB);

在3D模式下执行相同的操作会稍微复杂一些，将在后面进行详细说明。

飞机的一些例子

这是平面有用的简单示例。假设您有一个凸多边形。例如，矩形，梯形，三角形或没有面向内弯曲的任何多边形。

对于多边形的每个片段，我们都会计算经过该片段的平面。一旦有了平面列表，我们就可以做整齐的事情，例如检查点是否在多边形内。

我们遍历所有平面，如果可以找到到该点的距离为正的平面，则该点在多边形之外。如果我们做不到，那么重点就在里面。

代码应该是这样的：

var inside = true;
foreach (var p in planes)
{// check if distance to plane is positiveif (p.DistanceTo(point) > 0){inside = false;break; // with one that fails, it's enough}
}

太酷了吧？但这会变得更好！稍加努力，当两个凸多边形也重叠时，类似的逻辑就会让我们知道。这称为分离轴定理（或SAT），大多数物理引擎都使用它来检测碰撞。

对于一个点，仅检查飞机是否返回正距离就足以确定该点是否在外面。对于另一个多边形，我们必须找到一个平面，在该平面上所有其他多边形点都将返回一个正距离。该检查是使用A的平面相对于B的点进行的，然后使用B的平面相对于A的点进行的：

代码应该是这样的：

var overlapping = true;foreach (Plane plane in planesOfA)
{var allOut = true;foreach (Vector3 point in pointsOfB){if (plane.DistanceTo(point) < 0){allOut = false;break;}}if (allOut){// a separating plane was found// do not continue testingoverlapping = false;break;}
}if (overlapping)
{// only do this check if no separating plane// was found in planes of Aforeach (Plane plane in planesOfB){var allOut = true;foreach (Vector3 point in pointsOfA){if (plane.DistanceTo(point) < 0){allOut = false;break;}}if (allOut){overlapping = false;break;}}
}if (overlapping)
{GD.Print("Polygons Collided!");
}

如您所见，飞机非常有用，这是冰山一角。您可能想知道非凸多边形会发生什么。通常可以通过将凹面多边形拆分为较小的凸面多边形，或使用诸如BSP（如今已不多使用）之类的技术来处理。

3D碰撞检测

这是另外一个奖励，是对耐心和遵守本篇教程的奖励。这是另一个智慧。这可能不是直接用例（Godot已经很好地进行了碰撞检测），但是几乎所有物理引擎和碰撞检测库都在使用它：）

还记得将2D中的凸形转换为2D平面数组对于碰撞检测很有用吗？您可以检测点是否在任何凸形形状内，或者两个2D凸形形状是否重叠。

好吧，这也适用于3D，如果两个3D多面体形状发生碰撞，您将无法找到分离平面。如果找到分离平面，则形状绝对不会碰撞。

要稍微刷新一点，一个分离平面意味着多边形A的所有顶点都在该平面的一侧，而多边形B的所有顶点都在另一侧。该平面始终是面A或面B的端面之一。

但是在3D中，这种方法存在问题，因为在某些情况下可能找不到分离平面。这是这种情况的一个示例：

为了避免这种情况，需要测试一些额外的平面作为分隔符，这些平面是面A的边与面B的边之间的叉积。

所以最终的算法是这样的：

var overlapping = true;foreach (Plane plane in planesOfA)
{var allOut = true;foreach (Vector3 point in pointsOfB){if (plane.DistanceTo(point) < 0){allOut = false;break;}}if (allOut){// a separating plane was found// do not continue testingoverlapping = false;break;}
}if (overlapping)
{// only do this check if no separating plane// was found in planes of Aforeach (Plane plane in planesOfB){var allOut = true;foreach (Vector3 point in pointsOfA){if (plane.DistanceTo(point) < 0){allOut = false;break;}}if (allOut){overlapping = false;break;}}
}if (overlapping)
{foreach (Vector3 edgeA in edgesOfA){foreach (Vector3 edgeB in edgesOfB){var normal = edgeA.Cross(edgeB);if (normal.Length() == 0){continue;}var maxA = float.MinValue; // tiny numbervar minA = float.MaxValue; // huge number// we are using the dot product directly// so we can map a maximum and minimum range// for each polygon, then check if they// overlap.foreach (Vector3 point in pointsOfA){var distance = normal.Dot(point);maxA = Mathf.Max(maxA, distance);minA = Mathf.Min(minA, distance);}var maxB = float.MinValue; // tiny numbervar minB = float.MaxValue; // huge numberforeach (Vector3 point in pointsOfB){var distance = normal.Dot(point);maxB = Mathf.Max(maxB, distance);minB = Mathf.Min(minB, distance);}if (minA > maxB || minB > maxA){// not overlapping!overlapping = false;break;}}if (!overlapping){break;}}
}if (overlapping)
{GD.Print("Polygons Collided!");
}

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