【概率DP】SRM515 NewItemShop

题意：

要在一天内销售不超过N把魔法剑，并给出一些事件：每个事件由Ti,Ci,PiTi,Ci,PiT_i,C_i,P_i这个三元组组成。
分别表示：有PiPiP_i的概率，有一个客人会在TiTiT_i时刻进店，并以CiCiC_i的价格购买魔法剑。
并且有如下约束条件：每个时刻最多只有一个人可能会进店，可能有客人一天内在多个时间存在进店的可能性，但最多只进店一次。每个客人最多只买一把剑，并且你可以选择是否卖给他。现在求在最大化收益的期望值的方案下，这个最大期望值的值。
0≤Ti≤230≤Ti≤230\leq T_i\leq 23

分析：

题目看起来很复杂，但理一理其实很简单：
有多个可能收益的事件，每个事件都有特定的收益和可能性，DP状态的定义非常简单：
DP[i][j]表示剩余i个时间，剩余j把剑的最大期望收益。
由于一个特殊的约束：一个客人不会进店多次，这也就造成了我们不能将“一个人多次进店”看作“不同的人进店”，换句话说，我们必须考虑对于某一个特定的人的影响。因此，再结合输入数据的范围，我们可以利用状态压缩，来保存每个不同的人的影响。由于人的数量不超过24，如果直接状态压缩，数据量为224=16777216224=167772162^{24}=16777216，结合前两维，很显然会超时。所以我们再来看看需要状压的本质：为了解决一个人到达多次的情况。所以我们只需要针对于这类人状压即可，也就是说，我们只针对多次访问的人状压。这样一来，最多只有12个人有多次可能会到达，所以复杂度就是212=4096212=40962^{12}=4096，复杂度也就降下来了。

下面再说说具体转移：
在此之前，再重申一下状态定义
DP[i][j][s]表示第i个时间之后，还剩下j把剑，目前多次来的客人来的状态为s的情况下的最大期望值。

那么转移即为，若当前的客人可以来多次，那么
DP[i][j][s]DP[i][j][s]DP[i][j][s]
=(1−pos)∗DP[i+1][j][s]=(1−pos)∗DP[i+1][j][s]=(1-pos)*DP[i+1][j][s]//客人没来的概率，其中pos表示客人在当前时刻到来的概率，不等同于题目给出的那个值，需要处理
+pos∗max(DP[i+1][j−1][s|s1]+val,DP[i+1][j][s|s1])+pos∗max(DP[i+1][j−1][s|s1]+val,DP[i+1][j][s|s1])+pos*max(DP[i+1][j-1][s|s1]+val,DP[i+1][j][s|s1])//s1表示当前客人在二进制下的状态。
初始状态很显然：
任意一个i=24的状态均为0（这一天已经结束，没有期望值）
目标状态为DP[0][n][0]
注：这个代码交在vjudge上显示0分，在topcoder的客户端上和标程拿一样的分，并且经过本地测试无误。（估计是vjudge一个神奇的bug）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<iostream>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 55
#define MAXT 30
#define MAXM 5000
#define EPS 1e-6
using namespace std;
string read;
int las;
char Read(int &x){x=0;char c;while(c=read[las++],las!=read.size()&&(c<'0'||c>'9'));x=c-'0';if(las==read.size())return 0;while(c=read[las++],las!=read.size()&&c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0';if(las==read.size())return 0;return c;
}
struct node{int t;double val,pos;node () {}node (int t1,double val1,double pos1):t(t1),val(val1),pos(pos1) {}
};
int n,cnt;
vector<node>a[MAXN];
node time1[MAXT];
int r2[MAXM];
int used[MAXN],id[MAXN];
double dp[MAXT][MAXT][MAXM];
bool vis[MAXT][MAXT][MAXM];
double solve(int t,int sw,int s){if(t==24||sw==0)return 0;if(vis[t][sw][s]!=0)return dp[t][sw][s];vis[t][sw][s]=1;int x=time1[t].t;if(x==-1){dp[t][sw][s]=solve(t+1,sw,s);return dp[t][sw][s];}int s1;if(used[x]==1)s1=(1<<id[x]);elses1=0;if(s1&s){dp[t][sw][s]=solve(t+1,sw,s);return dp[t][sw][s];}double res1=(1-time1[t].pos)*solve(t+1,sw,s);res1+=time1[t].pos*max(time1[t].val+solve(t+1,sw-1,s|s1),solve(t+1,sw,s|s1));dp[t][sw][s]=res1;return res1;
}
class NewItemShop{
public:double getMaximum(int n1,vector<string> r1){n=n1;for(int i=0;i<r1.size();i++)read+=r1[i]+"|";int x;for(int i=0;;i++){char c=Read(x);r2[++cnt]=x;if(c==0)break;if(c=='|')r2[++cnt]=-1;}r2[++cnt]=-1;/*for(int i=1;i<=cnt;i++)PF("%d ",r2[i]);PF("|");*/int sum=0;for(int i=1;i<=cnt;i++){if(r2[i]==-1)sum++;else{a[sum].push_back(node(r2[i],double(r2[i+1]),double(r2[i+2]/100.0)));i+=2;}}/*for(int i=0;i<sum;i++){for(int j=0;j<a[i].size();j++)PF("\n{%d %lf %lf}",a[i][j].t,a[i][j].val,a[i][j].pos);PF("\n---------------\n");}*/cnt=0;for(int i=0;i<24;i++)time1[i].t=-1;for(int i=0;i<sum;i++){if(a[i].size()>1){used[i]=1;id[i]=cnt;cnt++;}double p1=1;for(int j=0;j<a[i].size();j++){double p2=a[i][j].pos/p1;p1-=a[i][j].pos;time1[a[i][j].t]=node(i,a[i][j].val,p2);}}//PF("%lf",solve(0,n,0));return solve(0,n,0);}
};

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