算法导论第二章部分习题自我解答

练习:

2.3-2:去掉合并排序中的哨兵值

#include <iostream>
using namespace std;
void Merge(int* A, int p, int q, int r){int n1 = q-p+1;int n2 = r-q;int *L = new int[n1+1];int *R = new int[n2+1];for(int i=0; i<=n1-1; i++)L[i] = A[p+i-1];for(int j=0; j<=n2-1; j++)R[j] = A[q+j];int i = 0;int j = 0;int k;for(k=p-1; k<=r-1 && i!=n1 && j!=n2; k++){//去掉哨兵后则要增加终止判断if(L[i]<=R[j]){A[k] = L[i];i++;}else{A[k] = R[j];j++;}}//*********去掉哨兵后，加入这部分即可*********//if(i == n1 || j == n2){while(k<=r-1){if(i == n1)A[k] = R[j++];elseA[k] = L[i++];k++;}} delete[] L;delete[] R;//*****************************************//
}
void MergeSort(int* A, int p,int r){if(p<r){int q = (p+r)/2;MergeSort(A, p, q);MergeSort(A, q+1, r);Merge(A, p, q, r);}
}
int main(){int A[]={10,9,4,7,8,3,1,15,12};int length_A = 9;;MergeSort(A, 1, length_A);for(int i=0; i<length_A; i++)cout<<A[i]<<" ";return 0;
}

2.3-4:插入排序的递归版

#include <iostream>
using namespace std;
void InsertionSort(int *A, int length_A){int last = length_A-1;if(last > 0){InsertionSort(A, length_A-1);int key = A[last];int i;for(i=last-1; i>=0 && A[i]>key; i--)A[i+1] = A[i];A[i+1] = key;       }
}
int main(){int A[]={10,9,4,7,8,3,1};int length_A = 7;InsertionSort(A, length_A);for(int i=0; i<length_A; i++)cout<<A[i]<<" ";return 0;
}

思考题：

2-2.证明冒泡排序的正确性:

b) 2-4行的循环不变式为:A[j] = min{A[i] | i = j to n}

证明：初始时，j=length[A],此时A[j]为末尾元素，它后面没有值了，满足。

假设k次迭迭代前，j = k，满足循环不变式，则下次(k-1)迭代前，j = k -1，在之前执行了把A[k]和A[k-1]中的小数放到前面的操作，故这时A[k-1]仍比后面的元素都小，满足；

终止条件是，当j = i时，这时A[i]就是A[i]到A[n]中最小的值。

c) 利用b)的终止条件，1-4行的循环不变式为：A[1]<=A[2]<=..<=A[i]

证明：初始时，A[i] = A[1]，单个元素有序；

假设k次迭代前，i = k，满足A[1]到A[k]有序，第k+1次迭代前，利用b)的终止条件A[k]<=A[k+1]，得，满足；

终止条件是，当i = length[A]时，全部有序。

d) 最坏运行时间：求和[((n^2)-n)/2]；比插入算法效率高一些，但增长率相同。

附上冒泡排序程序：

#include <iostream>
using namespace std;
void BubbleSort(int *A, int length_A){int last = length_A-1;for(int i=0; i<=last; i++){for(int j=last; j>=i+1; j--){if(A[j-1]>A[j]){int temp = A[j];A[j] = A[j-1];A[j-1] = temp;}}}
}
int main(){int A[]={10,9,4,7,8,3,1};int length_A = 7;BubbleSort(A, length_A);for(int i=0; i<length_A; i++)cout<<A[i]<<" ";return 0;
}

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