O(n)的时间复杂度求中位数

O(n)中位数问题是指：在O(n)的时间复杂度内找到一个无序序列的中位数。

在开始O(n)时间复杂度求中位数之前，先手写一下快速排序。

快速排序的实现

Reference：
快速排序|菜鸟教程
白话经典算法系列之六快速排序快速搞定

快速排序的原理

如果想正序排序一个序列：

从序列中找到一个 基准数 。
分区：将序列中比基准数大的数字都放到基准数的右边，将序列中比基准数小的数字都放在基准数的左边。
- 此时，序列被分成了三部分: 左序列 + 基准数 + 右序列。
- 实现2的方法可以是 挖坑法 。
对左序列和有序列进行排序即可（递归），直到左/右序列长度为1。

快速排序的复杂度

时间复杂度：
- 最好：O(nlogn)
- 最坏：O(n^2)
- 平均：O(nlogn)
空间复杂度：O(nlogn)
稳定性：不稳定

快速排序的实现1

void quick_sort(int a[], int left, int right){if (left >= right){return;}int l = left, r = right;int x = a[left]; // 选取当前序列最左边的数字为基准数while (l < r){while (l < r && a[r] >= x){r --;}if (l < r){a[l] = a[r];l ++;}while (l < r && a[l] < x){l ++;}if (l < r){a[r] = a[l];r ++;}}a[l] = x;quick_sort(a, left, l - 1);quick_sort(a, l + 1, right);
}

每一次快排都会确定一个位置，这个位置是l，大小是基准数。
如果我们想每一次都知道 快速排序确定的位置 ，那么可以写一个partition函数。（事实上，这是在为O(n)解决中位数问题做铺垫。）

快速排序的实现2——partition函数

int partition(int a[], int l, int r){int x = a[l];while (l < r){while (l < r && a[r] >= x){r --;}if (l < r){ a[l] = a[r];l ++;}while (l < r && a[l] < x){l ++;}if (l < r){a[r] = a[l];r --;}}a[l] = x;return l;
}void Q_sort(int a[], int l, int r){if (l < r){int index = partition(a, l, r);Q_sort(a, l, index-1);Q_sort(a, index+1, r);}
}

partiton()负责将获得每一次进行步骤2：分区得到的基准数在最终递增序列中的位置。
Q_sort()中的index就是该位置。根据该位置将序列分为左右序列。

有了partition函数，就可以实现O(n)时间复杂度找中位数的工作了。

基于partition函数的O(n)中位数

显然，如果没有O(n)的限制，那么一个直白的想法是：将无序序列排序，然后输出序列的 第n/2个位置 的元素。

n是序列的长度。
其实，对于中位数应该分情况讨论：
- 当 n 是奇数时，中位数是a[n/2]；
- 当 n 是偶数时，中位数是(a[n/2] + a[n/2 - 1]) / 2.0。

上述算法的时间复杂度是O(nlogn)。

考虑到，对于partition函数，每一个可以确定一个位置！ 那么，假设这个位置是index，那么对于中位数的位置pos:

如果index = pos，显然，找到了中位数a[index]。
如果index > pos，显然，中位数位于区间[l, index-1]。
- 此时，只需对区间[l, index-1]再次进行partition操作即可。
如果index < pos，显然，中位数位于区间[index+1, r]。
- 同上。

根据上述思想，编写函数getMidNumber():

int getMidNumber(int a[], int l, int r, int pos){while (true){int index = partition(a, l, r); // 获得基准数的位置if (index == pos){return a[index];}else if (index > pos){ // 只需要在[l, index-1]区间内找pos位置即可r = index - 1;}else { // 只需要在[index, r]区间内找pos位置即可l = index + 1;}}return -1; // 一般程序不会到这里
}

其中，pos的含义是中位数的位置：
- 当序列长度为奇数时，pos = n/2
- 当序列长度为偶数时，pos = n/2 或 n/2 - 1

比如，可以编写如下代码测试：

int main(){int a[] = {10, 8, 3, 5, 6, 2, 1, 7, 9, 4};int aLen = sizeof(a) / sizeof(int);if (aLen&1){cout << "Mid= " << getMidNumber(a, 0, aLen-1, aLen/2) << endl;}else{cout << "Mid= " << (getMidNumber(a, 0, aLen-1, aLen/2) + getMidNumber(a, 0, aLen-1, aLen/2-1)) / 2.0 << endl;}return 0;
}

aLen是序列a的长度。

时间复杂度分析

最坏：O(n^2)

假设一种极端情况，每一次选取的基准数都是序列中最小的那个数字，因此partition函数会依次返回0,1,2...n/2，每一次partition函数都需要O(n)的时间复杂度。因此，最坏的时间复杂度为O(n^2)。

最好: O(n)

假设一种完美情况，第一次得到的基准数就是中位数，那么只需要执行一次partition函数，因此时间复杂度是O(n)。

平均: O(n)
数学不好，证明不会。据他们说该算法的期望时间复杂度是O(n)。
这好像是涉及 主定理MasterTheorem。搜了好多网页博客也没看懂。

Reference：
主定理 Master Theorem

拓展：找序列中第`K`大的数字

其实找中位数就是找序列中第n/2大的数字。

因此找需要调用getMidNumber(a, 0, aLen-1, k)即可找到序列中第k大的数字了。

大佬的一种更简洁的写法

O(n)求中位数和第k大数

2020.9.26 14:41 周六