[滑模控制器浅述] （5）基于分层滑模的吊车控制

本博客需要一些现代控制理论中Lyapunov稳定性的一些理论知识。
您需要对滑模控制有一个初步的了解，可以参考：
[滑模控制器浅述] （1）二阶系统的简单滑模控制器设计

1 前言

分层滑模主要适用的是欠驱动系统，即输入个数小于需要控制的状态数目，比如下面为例吊车，只有一个控制输入，但是需要同时控制吊车在轨道的位置和下摆的角度。笔者对于分层滑模的了解也不够深入，属于初学阶段，不过恰巧曾经简单学习过分层滑模且应用在了吊车上，因此在此将展示本人的控制器设计。
笔者这里学习的主要是王伟的一些中文文献，他在国内做欠驱动系统控制研究算是很早的。

2 吊车动力学模型

如上图所示一个桥式吊车，假设负载可以看做质点，在X-Y平面内运动，同事忽略台车与轨道之间的摩擦力以及绳子长度L的变化，则利用Euler-Lagrange方法可以得到其动力学模型（其实是抄后面参考文献的）：
{(m+M)x¨+mL(θ¨cos⁡θ−θ˙2sin⁡θ)=ux¨cos⁡θ+Lθ¨+gsin⁡θ=0\left\{ \begin{matrix} \left( m+M \right)\ddot{x}+mL\left( \ddot{\theta }\cos \theta -{{{\dot{\theta }}}^{2}}\sin \theta \right)=u \\ \ddot{x}\cos \theta +L\ddot{\theta }+g\sin \theta =0 \\ \end{matrix} \right.{(m+M)x¨+mL(θ¨cosθ−θ˙2sinθ)=ux¨cosθ+Lθ¨+gsinθ=0其中MMM表示台车质量，mmm表示负载质量，xxx表示台车水平位移，θ\thetaθ表示吊绳摆角，LLL为绳长。
令x1=x{{x}_{1}}=xx1=x，x2=x˙{{x}_{2}}=\dot{x}x2=x˙，x3=θ{{x}_{3}}=\thetax3=θ，x4=θ˙{{x}_{4}}=\dot{\theta }x4=θ˙分别为吊车系统中的台车水平移动距离，台车水平速度，吊绳摆角，吊绳摆角角速度，考虑外部干扰d1(t){{d}_{1}}\left( t \right)d1(t)、d2(t){{d}_{2}}\left( t \right)d2(t)，即有：
{x˙1=x2x˙2=g1(X)+b1(X)u+d1(t)x˙3=x4x˙4=g2(X)+b2(X)u+d2(t)\left\{ \begin{matrix} {{{\dot{x}}}_{1}}={{x}_{2}} \\ {{{\dot{x}}}_{2}}={{g}_{1}}\left( X \right)+{{b}_{1}}\left( X \right)u+{{d}_{1}}\left( t \right) \\ {{{\dot{x}}}_{3}}={{x}_{4}} \\ {{{\dot{x}}}_{4}}={{g}_{2}}\left( X \right)+{{b}_{2}}\left( X \right)u+{{d}_{2}}\left( t \right) \\ \end{matrix} \right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x˙1=x2x˙2=g1(X)+b1(X)u+d1(t)x˙3=x4x˙4=g2(X)+b2(X)u+d2(t)其中：
{g1(X)=mLθ˙2sin⁡θ+mgsin⁡θcos⁡θM+msin⁡2θb1(X)=1M+msin⁡2θg2(X)=−(m+M)gsin⁡θ+mLθ˙2sin⁡θcos⁡θ(M+msin⁡2θ)Lb2(X)=−cos⁡θ(M+msin⁡2θ)L\left\{ \begin{matrix} {{g}_{1}}\left( X \right)=\frac{mL{{{\dot{\theta }}}^{2}}\sin \theta +mg\sin \theta \cos \theta }{M+m{{\sin }^{2}}\theta } \\ {{b}_{1}}\left( X \right)=\frac{1}{M+m{{\sin }^{2}}\theta } \\ {{g}_{2}}\left( X \right)=-\frac{\left( m+M \right)g\sin \theta +mL{{{\dot{\theta }}}^{2}}\sin \theta \cos \theta }{\left( M+m{{\sin }^{2}}\theta \right)L} \\ {{b}_{2}}\left( X \right)=-\frac{\cos \theta }{\left( M+m{{\sin }^{2}}\theta \right)L} \\ \end{matrix} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧g1(X)=M+msin2θmLθ˙2sinθ+mgsinθcosθb1(X)=M+msin2θ1g2(X)=−(M+msin2θ)L(m+M)gsinθ+mLθ˙2sinθcosθb2(X)=−(M+msin2θ)Lcosθ

3 分层滑模控制器设计

易知b1>0{{b}_{1}}>0b1>0，设有∣d1(t)∣≤σ1\left| {{d}_{1}}\left( t \right) \right|\le {{\sigma }_{1}}∣d1(t)∣≤σ1、∣d2(t)∣≤σ2\left| {{d}_{2}}\left( t \right) \right|\le {{\sigma }_{2}}∣d2(t)∣≤σ2，0<σ3≤∣b1∣≤σ40<{{\sigma }_{3}}\le \left| {{b}_{1}} \right|\le {{\sigma }_{4}}0<σ3≤∣b1∣≤σ4，∣b2∣≤σ5\left| {{b}_{2}} \right|\le {{\sigma }_{5}}∣b2∣≤σ5 。
该四阶系统可以看做是2个二阶子系统耦合，首先考虑第一层滑模面：
{s1=c1x1+x2c1>0s2=c2x3+x4c2>0\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} {{s}_{1}}={{c}_{1}}{{x}_{1}}+{{x}_{2}} & {{c}_{1}}>0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} {{s}_{2}}={{c}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{4}} & {{c}_{2}}>0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.{s1=c1x1+x2c1>0s2=c2x3+x4c2>0易得：
{s˙1=c1x2+g1(X)+b1(X)u+d1s˙2=c2x4+g2(X)+b2(X)u+d2\left\{ \begin{matrix} {{{\dot{s}}}_{1}}={{c}_{1}}{{x}_{2}}+{{g}_{1}}\left( X \right)+{{b}_{1}}\left( X \right)u+{{d}_{1}} \\ {{{\dot{s}}}_{2}}={{c}_{2}}{{x}_{4}}+{{g}_{2}}\left( X \right)+{{b}_{2}}\left( X \right)u+{{d}_{2}} \\ \end{matrix} \right.{s˙1=c1x2+g1(X)+b1(X)u+d1s˙2=c2x4+g2(X)+b2(X)u+d2在不考虑干扰的情况下，等效控制律为：
{ueq1=c1x2+g1(X)b1(X)ueq2=c2x4+g2(X)b2(X)\left\{ \begin{matrix} {{u}_{eq1}}=\frac{{{c}_{1}}{{x}_{2}}+{{g}_{1}}\left( X \right)}{{{b}_{1}}\left( X \right)} \\ {{u}_{eq2}}=\frac{{{c}_{2}}{{x}_{4}}+{{g}_{2}}\left( X \right)}{{{b}_{2}}\left( X \right)} \\ \end{matrix} \right.{ueq1=b1(X)c1x2+g1(X)ueq2=b2(X)c2x4+g2(X)设计第二层滑模为：
s=αs1+βs2s=\alpha {{s}_{1}}+\beta {{s}_{2}}s=αs1+βs2整个系统只能有一个控制律，因此要考虑2个子系统的等效控制，总控制量为：
u=ueq1+ueq2+uswu={{u}_{eq1}}+{{u}_{eq2}}+{{u}_{sw}}u=ueq1+ueq2+usw usw{{u}_{sw}}usw为切换控制律。
考虑Lyapunov函数：
V=12s2V=\frac{1}{2}{{s}^{2}}V=21s2求导：
V˙=ss˙=s(αs˙1+βs˙2)=s(α(c1x2+g1+b1u+d1)+β(c2x4+g2+b2u+d2))\begin{aligned} & \dot{V}=s\dot{s}=s\left( \alpha {{{\dot{s}}}_{1}}+\beta {{{\dot{s}}}_{2}} \right) \\ & \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}=s\left( \alpha \left( {{c}_{1}}{{x}_{2}}+{{g}_{1}}+{{b}_{1}}u+{{d}_{1}} \right)+\beta \left( {{c}_{2}}{{x}_{4}}+{{g}_{2}}+{{b}_{2}}u+{{d}_{2}} \right) \right) \\ \end{aligned}V˙=ss˙=s(αs˙1+βs˙2)=s(α(c1x2+g1+b1u+d1)+β(c2x4+g2+b2u+d2))带入uuu得：
V˙=s(αb1ueq2+βb2ueq1+αd1+βd2+(αb1+βb2)usw)\dot{V}=s\left( \alpha {{b}_{1}}{{u}_{eq2}}+\beta {{b}_{2}}{{u}_{eq1}}+\alpha {{d}_{1}}+\beta {{d}_{2}}+\left( \alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}} \right){{u}_{sw}} \right)V˙=s(αb1ueq2+βb2ueq1+αd1+βd2+(αb1+βb2)usw)设计切换控制律：
usw=−αb1ueq2−βb2ueq1−εsgn(s1)αb1+βb2−ksk>0\begin{matrix} {{u}_{sw}}=\frac{-\alpha {{b}_{1}}{{u}_{eq2}}-\beta {{b}_{2}}{{u}_{eq1}}-\varepsilon sgn \left( {{s}_{1}} \right)}{\alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}}}-ks & k>0 \\ \end{matrix}usw=αb1+βb2−αb1ueq2−βb2ueq1−εsgn(s1)−ksk>0
将上式带入，得：
V˙=s(−εsgn(s1)−(αb1+βb2)ks+αd1+βd2)=αs1(αd1+βd2)−αε∣s1∣−βεs2sgn(s1)+βs2(αd1+βd2)−(αb1+βb2)ks2≤α∣s1∣(∣αd1+βd2∣−ε)−s2β(εsgn(s1)−(αd1+βd2))−(αb1+βb2)ks2\begin{aligned} & \dot{V}=s\left( -\varepsilon sgn \left( {{s}_{1}} \right)-\left( \alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}} \right)ks+\alpha {{d}_{1}}+\beta {{d}_{2}} \right) \\ & \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}=\alpha {{s}_{1}}\left( \alpha {{d}_{1}}+\beta {{d}_{2}} \right)-\alpha \varepsilon \left| {{s}_{1}} \right| \\ & -\beta \varepsilon {{s}_{2}}sgn \left( {{s}_{1}} \right)+\beta {{s}_{2}}\left( \alpha {{d}_{1}}+\beta {{d}_{2}} \right)-\left( \alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}} \right)k{{s}^{2}} \\ & \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\le \alpha \left| {{s}_{1}} \right|\left( \left| \alpha {{d}_{1}}+\beta {{d}_{2}} \right|-\varepsilon \right)-{{s}_{2}}\beta \left( \varepsilon sgn \left( {{s}_{1}} \right)-\left( \alpha {{d}_{1}}+\beta {{d}_{2}} \right) \right)-\left( \alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}} \right)k{{s}^{2}} \\ \end{aligned}V˙=s(−εsgn(s1)−(αb1+βb2)ks+αd1+βd2)=αs1(αd1+βd2)−αε∣s1∣−βεs2sgn(s1)+βs2(αd1+βd2)−(αb1+βb2)ks2≤α∣s1∣(∣αd1+βd2∣−ε)−s2β(εsgn(s1)−(αd1+βd2))−(αb1+βb2)ks2显然，当有下式时：
{ε≥ασ1+β0σ2β={β0s1s2≥0−β0s1s2<0β0>0α>β0σ5σ3>β0b2b1\left\{ \begin{matrix} \varepsilon \ge \alpha {{\sigma }_{1}}+{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{2}} \\ \beta =\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} {{\beta }_{0}} & {{s}_{1}}{{s}_{2}}\ge 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} -{{\beta }_{0}} & {{s}_{1}}{{s}_{2}}<0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & {{\beta }_{0}}>0 \\ \end{matrix} \right. \\ \alpha >\frac{{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{5}}}{{{\sigma }_{3}}}>\frac{{{\beta }_{0}}{{b}_{2}}}{{{b}_{1}}} \\ \end{matrix} \right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ε≥ασ1+β0σ2β={β0s1s2≥0−β0s1s2<0β0>0α>σ3β0σ5>b1β0b2有：
−s2β(εsgn(s1)−(αd1+βd2))≤−(ε−∣αd1+βd2∣)∣s2∣β0≤0\begin{aligned} & -{{s}_{2}}\beta \left( \varepsilon sgn \left( {{s}_{1}} \right)-\left( \alpha {{d}_{1}}+\beta {{d}_{2}} \right) \right) \\ & \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\le -\left( \varepsilon -\left| \alpha {{d}_{1}}+\beta {{d}_{2}} \right| \right)\left| {{s}_{2}} \right|{{\beta }_{0}}\le 0 \\ \end{aligned}−s2β(εsgn(s1)−(αd1+βd2))≤−(ε−∣αd1+βd2∣)∣s2∣β0≤0 有V˙≤0\dot{V}\le 0V˙≤0，即第二层滑模面sss渐进稳定。
下面证明第一层滑模面稳定，考虑Lyapunov函数：
V1=12s12{{V}_{1}}=\frac{1}{2}s_{1}^{2}V1=21s12
求导：
V˙1=s1s˙1=s1(c1x2+g1+b1u+d1)\begin{aligned} & {{{\dot{V}}}_{1}}={{s}_{1}}{{{\dot{s}}}_{1}} \\ & \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}={{s}_{1}}\left( {{c}_{1}}{{x}_{2}}+{{g}_{1}}+{{b}_{1}}u+{{d}_{1}} \right) \\ \end{aligned}V˙1=s1s˙1=s1(c1x2+g1+b1u+d1)将代入uuu，得：
V˙1=s1(b1ueq2+b1usw+d1)=s1(b1ueq2+−αb12ueq2−βb1b2ueq1−εb1sgn(s1)αb1+βb2−kb1s+d1)=s1(−βb1b2(ueq1−ueq2)−εb1sgn(s1)αb1+βb2−kb1s+d1)=−βb1b2(ueq1−ueq2)s1−εb1∣s1∣+s1(αb1+βb2)d1αb1+βb2−kb1(αs12+βs1s2)=−βb1b2(ueq1−ueq2)s1−εb1∣s1∣+s1(αb1+βb2)d1αb1+βb2−kb1(αs12+β0∣s1s2∣)≤(∣(αb1+βb2)d1∣+∣β0b1b2∣ueq1−ueq2∣∣−εb1)∣s1∣αb1+βb2−kb1(αs12+β0∣s1s2∣)\begin{aligned} & {{{\dot{V}}}_{1}}={{s}_{1}}\left( {{b}_{1}}{{u}_{eq2}}+{{b}_{1}}{{u}_{sw}}+{{d}_{1}} \right) \\ & \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}={{s}_{1}}\left( {{b}_{1}}{{u}_{eq2}}+\frac{-\alpha b_{1}^{2}{{u}_{eq2}}-\beta {{b}_{1}}{{b}_{2}}{{u}_{eq1}}-\varepsilon {{b}_{1}}sgn \left( {{s}_{1}} \right)}{\alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}}}-k{{b}_{1}}s+{{d}_{1}} \right) \\ & \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}={{s}_{1}}\left( \frac{-\beta {{b}_{1}}{{b}_{2}}\left( {{u}_{eq1}}-{{u}_{eq2}} \right)-\varepsilon {{b}_{1}}sgn \left( {{s}_{1}} \right)}{\alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}}}-k{{b}_{1}}s+{{d}_{1}} \right) \\ & \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}=\frac{-\beta {{b}_{1}}{{b}_{2}}\left( {{u}_{eq1}}-{{u}_{eq2}} \right){{s}_{1}}-\varepsilon {{b}_{1}}\left| {{s}_{1}} \right|+{{s}_{1}}\left( \alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}} \right){{d}_{1}}}{\alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}}}-k{{b}_{1}}\left( \alpha s_{1}^{2}+\beta {{s}_{1}}{{s}_{2}} \right) \\ & \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}=\frac{-\beta {{b}_{1}}{{b}_{2}}\left( {{u}_{eq1}}-{{u}_{eq2}} \right){{s}_{1}}-\varepsilon {{b}_{1}}\left| {{s}_{1}} \right|+{{s}_{1}}\left( \alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}} \right){{d}_{1}}}{\alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}}}-k{{b}_{1}}\left( \alpha s_{1}^{2}+{{\beta }_{0}}\left| {{s}_{1}}{{s}_{2}} \right| \right) \\ & \begin{matrix} {} \\ \end{matrix}\le \frac{\left( \left| \left( \alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}} \right){{d}_{1}} \right|+\left| {{\beta }_{0}}{{b}_{1}}{{b}_{2}}\left| {{u}_{eq1}}-{{u}_{eq2}} \right| \right|-\varepsilon {{b}_{1}} \right)\left| {{s}_{1}} \right|}{\alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}}}-k{{b}_{1}}\left( \alpha s_{1}^{2}+{{\beta }_{0}}\left| {{s}_{1}}{{s}_{2}} \right| \right) \\ \end{aligned}V˙1=s1(b1ueq2+b1usw+d1)=s1(b1ueq2+αb1+βb2−αb12ueq2−βb1b2ueq1−εb1sgn(s1)−kb1s+d1)=s1(αb1+βb2−βb1b2(ueq1−ueq2)−εb1sgn(s1)−kb1s+d1)=αb1+βb2−βb1b2(ueq1−ueq2)s1−εb1∣s1∣+s1(αb1+βb2)d1−kb1(αs12+βs1s2)=αb1+βb2−βb1b2(ueq1−ueq2)s1−εb1∣s1∣+s1(αb1+βb2)d1−kb1(αs12+β0∣s1s2∣)≤αb1+βb2(∣(αb1+βb2)d1∣+∣β0b1b2∣ueq1−ueq2∣∣−εb1)∣s1∣−kb1(αs12+β0∣s1s2∣)显然，当有下式时：
{ε>(ασ4+β0σ5)σ1+β0σ4σ5∣ueq2−ueq1∣σ3α>β0σ5σ3\left\{ \begin{matrix} \varepsilon >\frac{\left( \alpha {{\sigma }_{4}}+{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{5}} \right){{\sigma }_{1}}+{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{4}}{{\sigma }_{5}}\left| {{u}_{eq2}}-{{u}_{eq1}} \right|}{{{\sigma }_{3}}} \\ \alpha >\frac{{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{5}}}{{{\sigma }_{3}}} \\ \end{matrix} \right.{ε>σ3(ασ4+β0σ5)σ1+β0σ4σ5∣ueq2−ueq1∣α>σ3β0σ5有V1≤0{{V}_{1}}\le 0V1≤0，第一层滑模面s1{{s}_{1}}s1稳定。
由于sss和s1{{s}_{1}}s1都稳定，对任意的初始状态，有lim⁡t→t1s→0\underset{t\to {{t}_{1}}}{\mathop{\lim }}\,s\to 0t→t1lims→0、lim⁡t→t2s1→0\underset{t\to {{t}_{2}}}{\mathop{\lim }}\,{{s}_{1}}\to 0t→t2lims1→0，那么对于s2{{s}_{2}}s2，有lim⁡t→max⁡(t1,t2)s2=lim⁡t→max⁡(t1,t2)1β(s−αs1)→0\underset{t\to \max \left( {{t}_{1}},{{t}_{2}} \right)}{\mathop{\lim }}\,{{s}_{2}}=\underset{t\to \max \left( {{t}_{1}},{{t}_{2}} \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\beta }\left( s-\alpha {{s}_{1}} \right)\to 0t→max(t1,t2)lims2=t→max(t1,t2)limβ1(s−αs1)→0，即s2{{s}_{2}}s2也能收敛。
综上所述，上文提出的控制律可以使得如、所描述系统稳定，整理如下：
控制律：
{u=ueq1+ueq2+uswueq1=c1x2+g1b1c1>0ueq2=c2x4+g2b2c2>0usw=−αb1ueq2−βb2ueq1−εsgn(s1)αb1+βb2−ks\left\{ \begin{matrix} u={{u}_{eq1}}+{{u}_{eq2}}+{{u}_{sw}} \\ \begin{matrix} {{u}_{eq1}}=\frac{{{c}_{1}}{{x}_{2}}+{{g}_{1}}}{{{b}_{1}}} & {{c}_{1}}>0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} {{u}_{eq2}}=\frac{{{c}_{2}}{{x}_{4}}+{{g}_{2}}}{{{b}_{2}}} & {{c}_{2}}>0 \\ \end{matrix} \\ {{u}_{sw}}=\frac{-\alpha {{b}_{1}}{{u}_{eq2}}-\beta {{b}_{2}}{{u}_{eq1}}-\varepsilon sgn \left( {{s}_{1}} \right)}{\alpha {{b}_{1}}+\beta {{b}_{2}}}-ks \\ \end{matrix} \right.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧u=ueq1+ueq2+uswueq1=b1c1x2+g1c1>0ueq2=b2c2x4+g2c2>0usw=αb1+βb2−αb1ueq2−βb2ueq1−εsgn(s1)−ks控制器参数：
{k>0ε>max⁡(ασ1+β0σ2,(ασ4+β0σ5)σ1+β0σ4σ5∣ueq2−ueq1∣σ3)β={β0s1s2≥0−β0s1s2<0β0>0α>β0σ5σ3\left\{ \begin{matrix} k>0 \\ \varepsilon >\max \left( \alpha {{\sigma }_{1}}+{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{2}},\frac{\left( \alpha {{\sigma }_{4}}+{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{5}} \right){{\sigma }_{1}}+{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{4}}{{\sigma }_{5}}\left| {{u}_{eq2}}-{{u}_{eq1}} \right|}{{{\sigma }_{3}}} \right) \\ \beta =\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} {{\beta }_{0}} & {{s}_{1}}{{s}_{2}}\ge 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} -{{\beta }_{0}} & {{s}_{1}}{{s}_{2}}<0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & {{\beta }_{0}}>0 \\ \end{matrix} \right. \\ \alpha >\frac{{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{5}}}{{{\sigma }_{3}}} \\ \end{matrix} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧k>0ε>max(ασ1+β0σ2,σ3(ασ4+β0σ5)σ1+β0σ4σ5∣ueq2−ueq1∣)β={β0s1s2≥0−β0s1s2<0β0>0α>σ3β0σ5

4 仿真

系统参数：
{M=1(kg)m=0.8(kg)L=0.3(m)\left\{ \begin{matrix} M=1\left( kg \right) \\ m=0.8\left( kg \right) \\ L=0.3\left( m \right) \\ \end{matrix} \right.⎩⎨⎧M=1(kg)m=0.8(kg)L=0.3(m)控制器参数：
{c1=0.8c2=0.4k=2ε(t)=max⁡(ασ1+β0σ2,(ασ4+β0σ5)σ1+β0σ4σ5∣ueq2(t)−ueq1(t)∣σ3)β0=0.1α=3.2\left\{ \begin{matrix} {{c}_{1}}=0.8 \\ {{c}_{2}}=0.4 \\ k=2 \\ \varepsilon \left( t \right)=\max \left( \alpha {{\sigma }_{1}}+{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{2}},\frac{\left( \alpha {{\sigma }_{4}}+{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{5}} \right){{\sigma }_{1}}+{{\beta }_{0}}{{\sigma }_{4}}{{\sigma }_{5}}\left| {{u}_{eq2}}\left( t \right)-{{u}_{eq1}}\left( t \right) \right|}{{{\sigma }_{3}}} \right) \\ {{\beta }_{0}}=0.1 \\ \alpha =3.2 \\ \end{matrix} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧c1=0.8c2=0.4k=2ε(t)=max(ασ1+β0σ2,σ3(ασ4+β0σ5)σ1+β0σ4σ5∣ueq2(t)−ueq1(t)∣)β0=0.1α=3.2初始状态：
{x=2θ=30∘\left\{ \begin{matrix} x=2 \\ \theta =30{}^\circ \\ \end{matrix} \right.{x=2θ=30∘仿真结果如下：

5 参考文献

杨兴明，“基于分层滑模方法的两轮载人自平衡车的运动控制”，合肥工业大学学报，2013
王伟，“基于滑模方法的桥式吊车系统的抗摆控制”，控制与决策，2004
王伟，“桥式吊车系统的分级滑模控制方法”，自动化学报，2004