[分布式控制浅述] （3）简单分布式事件触发控制

事件触发控制（Event-triggered Control，ETC）是与传统的连续的周期控制不同的一类控制方法，事件触发控制不是在每个周期时都去计算和改变控制输入，而是在一些特定的、由系统稳定关系决定的一些特定时刻，去计算或改变控制输入。最早是K.Z Arzen教授和K.Astrom教授在首次提出的。
事件触发控制一般由两部分组成，第一是反馈控制器，第二是触发条件，也就是什么时候区更新控制输入。
本文根据笔者的经验和浅薄的知识，通俗易懂的介绍一个笔者认为较为经典的、容易理解的和一个分布式事件触发控制。
建议首先学习图论的预备知识以及简单的一致性理论：
[分布式控制浅述] （1）图论基础
[分布式控制浅述] （2）经典一阶系统的一致性问题

1 前言

经过多年的发展，分布式事件触发控制已经衍生出了很多，根据笔者的经验，大致有以下五种主要类别：
基于事件的控制（Event-Based Control，ETC）
基于模型的事件触发控制（Model-Based Event-Triggered Control）
基于采样数据的事件触发控制（Sampled-Data-Based Event-Triggered Control）
自触发控制（Self-Triggered Control）
动态事件触发控制（Dynamic Event-Triggered Control）
如果您想深入了解他们差异细节和讨论的不同问题，您可以参考下篇这篇综述：
Ding L, Han Q, Ge X, et al. An Overview of Recent Advances in Event-Triggered Consensus of Multiagent Systems[J]. IEEE Transactions on Cybernetics, 2018,48(4):1110-1123.

不过本文仅仅介绍其中一个笔者认为较为经典的、容易理解的和一个分布式事件触发控制，是基于Dimos V. Dimarogonas教授2012年的一篇TAC：
Dimarogonas D V, Frazzoli E, Johansson K H. Distributed Event-Triggered Control for Multi-Agent Systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2012,57(5):1291-1297.

2 分布式事件触发控制

考虑无向图。
系统方程：
x˙i=ui{{\dot{x}}_{i}}={{u}_{i}}x˙i=ui事件触发控制器：
ui(t)=qi(t)=−k∑j∈Ni(xi(tki)−xj(tk′(t)j))t∈[tki,tk+1i)\begin{matrix} {{u}_{i}}\left( t \right)={{q}_{i}}\left( t \right)=-k\sum\limits_{j\in {{N}_{i}}}^{{}}{\left( {{x}_{i}}\left( t_{k}^{i} \right)-{{x}_{j}}\left( t_{{k}'\left( t \right)}^{j} \right) \right)} & t\in \left[ t_{k}^{i},t_{k+1}^{i} \right) \\ \end{matrix}ui(t)=qi(t)=−kj∈Ni∑(xi(tki)−xj(tk′(t)j))t∈[tki,tk+1i)

切换条件：
ei2(t)≤σ2klijq^i(t)e_{i}^{2}\left( t \right)\le \frac{\sigma }{2k{{l}_{ij}}}{{\hat{q}}_{i}}\left( t \right)ei2(t)≤2klijσq^i(t)

其中：
0<σ<10<\sigma <10<σ<1ei(t)=xi(tki)−xi(t)t∈[tki,tk+1i)\begin{matrix} {{e}_{i}}\left( t \right)={{x}_{i}}\left( t_{k}^{i} \right)-{{x}_{i}}\left( t \right) & t\in \left[ t_{k}^{i},t_{k+1}^{i} \right) \\ \end{matrix}ei(t)=xi(tki)−xi(t)t∈[tki,tk+1i)

对于t∈[tki,tk+1i)t\in \left[ t_{k}^{i},t_{k+1}^{i} \right)t∈[tki,tk+1i)，tk′(t)jt_{{k}'\left( t \right)}^{j}tk′(t)j为智能体jjj上次事件触发更新事件。因此，控制ui(t){{u}_{i}}\left( t \right)ui(t)会在自身时刻事件触发t0i,t1i,…t_{0}^{i},t_{1}^{i},\ldotst0i,t1i,…，以及其邻居事件触发更新时刻t0j,t1j,…t_{0}^{j},t_{1}^{j},\ldotst0j,t1j,… ，进行更新。值得注意的是，智能体iii和jjj一般不会在同一时刻发生事件触发，因此tkit_{k}^{i}tki和tkjt_{k}^{j}tkj表示的是不同时刻。
好了，这就是Dimos V. Dimarogonas教授提出的控制律，可以发现，输入ui(t){{u}_{i}}\left( t \right)ui(t)是非连续的，因为xi(tki){{x}_{i}}\left( t_{k}^{i} \right)xi(tki)和xj(tkj){{x}_{j}}\left( t_{k}^{j} \right)xj(tkj)是非连续的。
下面进行理论层面的分析。

3 稳定性分析

考虑Lyapunov函数：
V=12xT(In−1n1T1)x=12∑i=1n(xi(t)−xˉ(0))2\begin{aligned} & V=\frac{1}{2}{{\mathbf{x}}^{T}}\left( {{I}_{n}}-\frac{1}{n}{{\mathbf{1}}^{T}}\mathbf{1} \right)\mathbf{x} \\ & =\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{x}_{i}}\left( t \right)-\bar{x}\left( 0 \right) \right)}^{2}}} \end{aligned}V=21xT(In−n11T1)x=21i=1∑n(xi(t)−xˉ(0))2其中xˉ(0)=1n∑i=1nxi(0)\bar{x}\left( 0 \right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}\left( 0 \right)}xˉ(0)=n1i=1∑nxi(0)
求导：
V˙=∑i=1n(xi(t)−xˉ(0))x˙i(t)=∑i=1nxi(t)∑j=1n−klijx^j(t)=−∑i=1n(x^i(t)−ei(t))∑j=1nklijx^j(t)=−∑i=1nq^i(t)−∑i=1n∑j=1nei(t)klijx^j(t)=−∑i=1nq^i(t)−∑i=1n∑j=1,i≠jnei(t)klij(x^j(t)−x^i(t))≤−∑i=1nq^i(t)+∑i=1n∑j=1,i≠jnklijei2(t)+∑i=1n∑j=1,i≠jn14klij(x^j(t)−x^i(t))2=−∑i=1n12q^i(t)+∑i=1n∑j=1,i≠jnklijei2(t)\begin{aligned} & \dot{V}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{x}_{i}}\left( t \right)-\bar{x}\left( 0 \right) \right){{{\dot{x}}}_{i}}\left( t \right)} \\ & =\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}\left( t \right)\sum\limits_{j=1}^{n}{-k{{l}_{ij}}{{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)}} \\ & =-\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right)-{{e}_{i}}\left( t \right) \right)\sum\limits_{j=1}^{n}{k{{l}_{ij}}{{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)}} \\ & =-\sum\limits_{i=1}^{n}{{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{{{e}_{i}}\left( t \right)k{{l}_{ij}}{{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)}} \\ & =-\sum\limits_{i=1}^{n}{{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}-\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{{{e}_{i}}\left( t \right)k{{l}_{ij}}\left( {{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)-{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right) \right)}} \\ & \le -\sum\limits_{i=1}^{n}{{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{k{{l}_{ij}}e_{i}^{2}\left( t \right)}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{\frac{1}{4}k{{l}_{ij}}{{\left( {{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)-{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right) \right)}^{2}}}} \\ & =-\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{k{{l}_{ij}}e_{i}^{2}\left( t \right)}} \end{aligned}V˙=i=1∑n(xi(t)−xˉ(0))x˙i(t)=i=1∑nxi(t)j=1∑n−klijx^j(t)=−i=1∑n(x^i(t)−ei(t))j=1∑nklijx^j(t)=−i=1∑nq^i(t)−i=1∑nj=1∑nei(t)klijx^j(t)=−i=1∑nq^i(t)−i=1∑nj=1,i=j∑nei(t)klij(x^j(t)−x^i(t))≤−i=1∑nq^i(t)+i=1∑nj=1,i=j∑nklijei2(t)+i=1∑nj=1,i=j∑n41klij(x^j(t)−x^i(t))2=−i=1∑n21q^i(t)+i=1∑nj=1,i=j∑nklijei2(t)

其中：
∑i=1nq^i(t)=∑i=1n∑j=1,i≠jn12klij(x^j(t)−x^i(t))2=kx^T(t)Lx^(t)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{\frac{1}{2}k{{l}_{ij}}{{\left( {{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)-{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right) \right)}^{2}}}}=k{{\mathbf{\hat{x}}}^{T}}\left( t \right)L\mathbf{\hat{x}}\left( t \right)i=1∑nq^i(t)=i=1∑nj=1,i=j∑n21klij(x^j(t)−x^i(t))2=kx^T(t)Lx^(t)ei(t)(x^j(t)−x^i(t))≤ei2(t)+(x^j(t)−x^i(t))2{{e}_{i}}\left( t \right)\left( {{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)-{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right) \right)\le e_{i}^{2}\left( t \right)+{{\left( {{{\hat{x}}}_{j}}\left( t \right)-{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right) \right)}^{2}}ei(t)(x^j(t)−x^i(t))≤ei2(t)+(x^j(t)−x^i(t))2
容易知道，该系统在控制时必然满足切换条件ei2(t)≤σ2klijq^i(t)e_{i}^{2}\left( t \right)\le \frac{\sigma }{2k{{l}_{ij}}}{{\hat{q}}_{i}}\left( t \right)ei2(t)≤2klijσq^i(t)，那么代入切换条件，即有：
V˙≤−∑i=1n12q^i(t)+∑i=1n∑j=1,i≠jnklijei2(t)≤−12(1−σ)x^T(t)Lx^(t)≤0\begin{aligned} & \dot{V}\le -\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}{{{\hat{q}}}_{i}}\left( t \right)}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1,i\ne j}^{n}{k{{l}_{ij}}e_{i}^{2}\left( t \right)}} \\ & \le -\frac{1}{2}\left( 1-\sigma \right){{{\mathbf{\hat{x}}}}^{T}}\left( t \right)L\mathbf{\hat{x}}\left( t \right)\le \text{0} \end{aligned}V˙≤−i=1∑n21q^i(t)+i=1∑nj=1,i=j∑nklijei2(t)≤−21(1−σ)x^T(t)Lx^(t)≤0

显然，是渐近稳定的。