「代码随想录」343. 整数拆分【动态规划】详解！
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343. 整数拆分
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
思路
看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个…
我们来看一下如何使用动规来解决。
动态规划
动规五部曲，分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！
- 确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
那有同学问了，j怎么就不拆分呢？
j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。
那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。
递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
- dp的初始化
不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
这是无解的。
这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！
- 确定遍历顺序
确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
所以遍历顺序为：
for (int i = 3; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j < i - 1; j++) {dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}
}
- 举例推导dp数组
举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:int integerBreak(int n) {vector<int> dp(n + 1);dp[2] = 1;for (int i = 3; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j < i - 1; j++) {dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}}return dp[n];}
};
- 时间复杂度：O(n^2)
- 空间复杂度：O(n)
贪心
本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性！
我没有证明，而是直接用了结论。感兴趣的同学可以自己再去研究研究数学证明哈。
给出我的C++代码如下：
class Solution {
public:int integerBreak(int n) {if (n == 2) return 1;if (n == 3) return 2;if (n == 4) return 4;int result = 1;while (n > 4) {result *= 3;n -= 3;}result *= n;return result;}
};
- 时间复杂度O(n)
- 空间复杂度O(1)
总结
本题掌握其动规的方法，就可以了，贪心的解法确实简单，但需要有数学证明，如果能自圆其说也是可以的。
其实这道题目的递推公式并不好想，而且初始化的地方也很有讲究，我在写本题的时候一开始写的代码是这样的：
class Solution {
public:int integerBreak(int n) {if (n <= 3) return 1 * (n - 1);vector<int> dp(n + 1, 0);dp[1] = 1;dp[2] = 2;dp[3] = 3;for (int i = 4; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j < i - 1; j++) {dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);}}return dp[n];}
};
这个代码也是可以过的！
在解释递推公式的时候，也可以解释通，dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘积 * 拆解j的最大乘积。 看起来没毛病！
但是在解释初始化的时候，就发现自相矛盾了，dp[1]为什么一定是1呢？根据dp[i]的定义，dp[2]也不应该是2啊。
但如果递归公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);，就一定要这么初始化。递推公式没毛病，但初始化解释不通！
虽然代码在初始位置有一个判断if (n <= 3) return 1 * (n - 1);，保证n<=3 结果是正确的，但代码后面又要给dp[1]赋值1 和 dp[2] 赋值 2，这其实就是自相矛盾的代码，违背了dp[i]的定义！
我举这个例子，其实就说做题的严谨性，上面这个代码也可以AC，大体上一看好像也没有毛病，递推公式也说得过去，但是仅仅是恰巧过了而已。
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一.问题背景 整数拆分,指把一个整数分解成若干个整数的和 如 3=2+1=1+1+1 共2种拆分 我们认为2+1与1+2为同一种拆分 二.定义 在整数n的拆分中,最大的拆分数为m,我们记它的方案数为 ... 一.问题背景 整数拆分,指把一个整数分解成若干个整数的和 如 3=2+1=1+1+1 共2种拆分 我们认为2+1与1+2为同一种拆分 二.定义 在整数n的拆分中,最大的拆分数为m,我们记它的方案数为 ... 题目描述 给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化. 返回你可以获得的最大乘积. 示例 1: 输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1 ... 给定一个正整数 n ,将其拆分为 k 个 正整数 的和( k >= 2 ),并使这些整数的乘积最大化.返回 你可以获得的最大乘积 .示例 1:输入: n = 2 输出: 1 解释: 2 = 1 ... 一:题目 二:上码 class Solution {public:/**思路:1.分析题意:将一个数拆分为几个数相加的和 然后求取这几个数相乘的最大积,这个就很动态规划也就是我们可以得到多种结果,要在 ... daemonize ========= 是否以守护进程的方式运行,默认是 no,我们需要的话可以修改成 yes pidfile ======= 以后台方式运行 redis ,我们就需要制定一个 pid ... 如 G. Pólya 在他的教育著作<怎样解题>中所说:"尽可能形式地证明我们所直观看到的,以及尽可能直观地看出我们所形式证明过的,这是一种增进智力的练习.不幸,在教学中,并不总 ... 343. 整数拆分 -------------------------------------------- 给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化. 返回你可以获 ... 剑指Offer 14- II. 剪绳子 II(Medium) 343. 整数拆分(Medium) [题目连接] 题解 剪绳子(数学推导 / 贪心思想,清晰图解) 图解[暴力递归][记忆化技术][动态规 ... 描述 343. 整数拆分 给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化. 返回你可以获得的最大乘积. 示例 1: 输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 ...「代码随想录」343. 整数拆分【动态规划】详解！相关推荐
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