这篇文章主要是面向高中水平的读者的，我们以另外一个视角串联高中所学的部分知识。

首先，我们首先考虑这样一个问题，如何表示二维平面（平面直角坐标系）上的点？显然，用实数对就行了，

就表示了全部的点。那么还有别的办法吗？极坐标也可以，
也就表示了全部的点。

接下来，我们引入复数，显然，每一个二次方程都可以写作

的形式，当
时方程是没有实根的，为了让它有实根我们引入复数，并将实数的运算性质延伸到复数，定义复数单位
，满足
，我们发现
，并且，对于负数
，可以有
，因而
与
是上面的方程的两个根。由此像二维平面一样，我们可以用实数对表示一个复数，即
，也可以用类似极坐标的方式
。

随后我们考虑其中

的情形，
，显然它表达了复平面上的单位圆。我们用
表达单位圆上的点，下面我们说明用指数来表达这种定义是合理的，首先
，满足指数函数的乘法公式；并且，令
，
，也满足指数函数的导数公式，可见，这种定义方式是合理的。因此，对于任意的不为
的复数
，都可以有
，也就是说，我们用模长和角度刻画一个非
的复数。那么我们就可以用另一种视角来应对复数的乘除运算：设
，
，那么可以得到
，同理
，即分别将模长相乘除，将角度相加减就得结果，下面看几个例题。

例1：求

和
。

解：

对应的模长是
，角度是
；
对应的模长是
，角度是
。那么，
对应的模长就是
，角度为
，因此对应的复数是
。
对应的模长就是
，角度为
，因此对应的复数是
。

例2：求

的复数根。

解：复数

的模长为
，角度为
。设
的模长为
，角度为
。那么
，注意
，因而
；
。这样看起来只有一个根
，但是根据代数学基本定理，三次方程应当有三个复数解。问题出在哪呢？事实上，复数
的角度不应该是
，而可以是
，那么
的根是
，看似有无数个解，因为三角函数的周期性，这些角度对应的复数只有三个，即
时对应的值：
。

例3：求

的复数根（
且
）。

解：用例2的方法，可得

。

例4：证明欧拉恒等式：

。

解：因为

，带入
即得。

下面，我们用这个指数来研究三角函数的性质，我们有

，令变量为
，考虑到三角函数的奇偶性，有
，这样就可以将三角函数用指数表示，即：
，
，事实上，
与
互为共轭，
就是
的实部，
就是
的虚部。

接下来，看几个例子。

例5：推导

与
的表达式。

解：

事实上，如果我们忘记了三角函数和的公式，我们只需要像下面这样推导，就可以得到正弦和余弦的两角和公式。

，
，因而
，
。这样做实际上更为简单，之所以给出例5是因为这种处理方法在接下来一些问题中十分有用。

例6：推导

倍角的正弦和余弦公式。

解：

，因此，
，
。

例7：推导

倍角的正弦和余弦公式（
且
）。

解：

，因此，
，
。

例7：设

，
，求
，
。

解：我们首先将

转化成指数形式，
，再求它的原函数，得
。同理，
，再求它的原函数，得
。

例8：求

解：原式

以上，我们绕过了三角函数的直接运算，将被积函数化简，下面进行积分

这个例子演示了使用指数代换将复杂的三角函数表达式化简的过程，在碰到复杂的三角函数式子是可以尝试指数代换，用指数的操作代替三角函数的操作。

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