速成零基础数学三角函数(旋转坐标系角度相关基础知识)

三角函数基础知识

函数是指在某个变化过程中，有两个互相依赖的变量x和y，如果x取某值，y则依照确定的关系取相应值，这时，y是x的函数。例如，骑自行车以20km/h的速度行驶，行驶的路程s与行驶的时间t的关系为：s=201；路程s是随时间1的变化而变化，s与t之间有一种对应关系，由于s和t可取不同的数值，所以是变量，而20的数值保持不变，所以是常量。如果给变量1一个值，另一个变量s则可得到唯一的相应值；对于时间t的每一个值，行驶路程s都有唯一的值与它对应，这时，行驶路程s是时间t的函数。

一、直角三角形及其六种三角函数

三角形用符号“△”表示，它是由三条线段组成的封闭几何图形(图1-1)，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形顶点，相邻两边所组成的角为三角形内角。三角形三个角的大小不一定相等，但三角形内角的和总是等于180。

在图1-1a所示的直角三角形中，A和LB互为余角，∠A+ ∠B=900，直角所对的边c叫斜边。对锐角A来说，a边是角A的对边，6边是角A的邻边，但对2B来说，a边是∠B的邻边，而b边是∠B的对边。在直角三角形中，斜边永远对着直角，而邻边和对边是相对变化的，所以，计算中要先确定锐角∠A或∠B，然后找出三角函数的关系。

由于函数本身的意义就是互相依赖的变量，它在直角三角形中同样是某角的应变数，它随角度的变化而变化。一个直角三角形(图1-1a)，如果知道了其中的任意两个边，那就可以知道锐角∠A或∠B的角度大小，同理，如果知道任意一个锐角和一条边，也可以得到其他两条边的长短尺寸。

在直角三角形中，它的三角函数有六种，其定义和计算公式见表1-5。计算时，正弦、正切和正割的函数值随角度的增大而增大，但不是和角度成正比例关系，也就是说，角度增大一倍，函数不是增加一倍；相反，余弦、余切和余割的函数值是随角度的增大而减小，同样，也不成比例关系，就是说角度增加一倍，函数值不是相应减小一倍。

从表1-5可知

在实际应用中，只要记住正弦、余弦、正切的函数公式就可以了，因为正弦和余割、余弦和正割、正切和余切互为倒数关系，即：

三角函数是在坐标系中定义

角度与弧度的互化

二、30、45、60的三角函数值及其关系式

30，45，60的三角函数值见表1-6

从表1-6可看出如下关系式：

三、应用三角函数计算直角三角形的一般方法

  利用表1-5中三角函数的公式进行计算，必须具备三个元素，即直角三角形的某角和两个边，如果求算角度，就必须知道两个边的尺寸，如果求算某边，就必须知道一个角的度数和一个边的长度，这一角两边就是直角三角形的计算元素。

1，求算直角三角形角度

求算角度有两种形式：

(1)已知两边求角度 根据两个已知边，找出要计算的角(图1-1a中的角A或角B)，看它是属于哪种函数，然后用表1-5中的有关公式进行计算。

(2)已知一角求另一角的度数 由于直角三角形两锐角∠A和∠B互为余角图1-1a)，∠A+∠B=90，所以，∠A=90-∠B.∠B=90-∠A。

2，求算直角三角形边长

(1)已知一角一边求算另一边 根据已知边求算角度，先看它是属于哪种函数关系，然后从表1-3中找出有关公式进行计算。

如图1-1a中，已知∠B和a边，需求算c边。从表1-3中查出：a/c=cosB，这时，c=a/cosB.

(2)已知两边求算另一边 这种类型的计算有两种方法，一种方法是利用三角函数，这时，先求出角度，然后利用一角一边的方法算出另一边；另一种方法是利用几何定理中的勾股弦定理。

3，通过角和线间的关系组成直角三角形

实际工作中，遇到的图形和形状有圆形或多边形等，往往不是现成的直角三角形，这在计算中就需要利用几何图形中的角和线间的关系，通过画各种辅助线(平行线、垂直线、对角线、分角线、切线)方法组成直角三角形，然后才能进行计算。常用以下几种形式：

(1)应用计算元素组成直角三角形 图1-2中，已知正方形边长a，求算对角线AB长。这时，连接AB得到直线c，组成直角三角形ABC进行计算。

图1-3中的燕尾槽镶条，已知宽度a和角度a，要求计算法向厚度b，这时，连接AC，组成直角三角形ABC进行计算。

(2)平分对称图形得到直角三角形 图1-4所示是等腰三角形的对称图形，已知d和L，求算锥角a。这时，从顶点画一条垂直平分线，平分对称图形得到一个直角三角形，再进行计算。

图1-5所示是一个正六边形，已知边长s和角度a(a-360/60)，要求算出外接圆半径R。因为局部几何图形ABO不是直角三角形，而是一个对称图形。这时，同样通过平分而得到一个直角三角形。已知数S/2、a/2和未知数R组成了这个三角形的计算元素，这样计算就比较方便。

(3)画已知边和未知边的平行线组成直角三角形 在图1-6中，已知高1，斜边1，求算斜角a。如果从A点画梯形的高AC，就得到直角三角形ABC.

∠BAC=a，所以已知数l和L及未知数a组成了这个三角形的计算元素。

(4)画辅助线简算未知数(或简算已知数)组成直角三角形 在图1-7中，已知a、b和h，要求算a。为了组成直角三角形，可画辅助线简算已知数，即A点作垂直线AC，就得到直角三角形ABC。但是这个三角形ABC只有一个已知数h和未知数a，要进行计算，还缺少一个已知边。这时，可将已知数简算而使它成为一个已知边BC=(b-a)/2，这样就可以进行计算了。

(5)利用圆(圆弧)的切线和半径组成直角三角形 凡是遇到有圆或圆弧组成的图形，可以应用切线和过切点的半径相垂直(图1-12)的几何定理，把切线和切点处半径联成直角三角形。如图1-8所示，已知S和R，求算a。这时，可连接切点处半径0B组成直角三角形ABC。已知边R、S和求算数a角组成计算元素，进行计算。

以上五种组成直角三角形的方法是典型的例子，实际工作中遇到的几何图形往往比这些图形复杂，但一般来说都可以应用这些典型方法来组成直角三角形，或由以上几种方法的组合来找出直角三角形，这样就容易进行计算了。

四.常用几何定理

几何定理和三角函数一样，都是机械加工以及技术测量过程中最常用到的计算。实际计算时，又往往出现这样的情况，就是在用三角函数计算的同时，又要结合几何定理去求解；或者在用几何定理进行求解的同时，常常要用三角函数去计算，两者虽然计算方法不同，但都是互相依存的统一体，因此熟悉和掌握并使两者联系起来，找出计算规律和计算途径，以便灵活地进行种种计算，都是需要解决的问题。

一、计算长度的几何定理

1.勾股定理

勾股定理是几何中一个非常重要的定理，应用很广。

在图1-1a所示的直角三角形中，斜边c叫做弦，两个直角边中的短边a叫做勾，长边b叫做股。当勾是3，股是4，那么弦就等于5，并且，所有的直角三角形都具有这个性质。

勾股定理就是直角三角形的斜边平方等于其他两边的平方和。

根据勾股定理，在直角三角形中，已知任意两条边长，都可以求出第三条边长，使用这个定理计算长度非常方便。

二、常用计算角度的几何定理

三、应用几何定理求算尺寸的一般方法

利用几何方法求算长度，勾股定理用得最多。应用勾股定理进行计算，也需要先组成一个直角三角形，其计算和用三角函数中的方法大致相同。

1，应用几何计算组成直角三角形

图1-15所示是个截圆形，已知直径d和平面间厚度h，求平面部分的宽度b，这时，从A点到B点和A点到C点作辅助线，这样，d、b和h组成了直角三角形ABC。

图1-16中，已知R和H，求算L，这时，利用简算后的已知数(R-H)和R及要求算的数L组成直角三角形ABC，进行计算。

图1-17中，已知弓形长S和弓形半径R，求算弓形高b，这时，可利用未知数h和已知数S/2与R组成直角三角形ABO，求出h，则可算出b(b=R-h)。

2，应用几何定理计算示例

(1)截圆形尺寸互算 图1-18所示是截圆形，D是圆的直径，A是平面部分的宽度，B是两平面对边距离。计算长度和距离时，根据勾股定理得到下式：

【例】有一工件直径D=30mm(图1-19)，平面部分的宽度A要求为22mm，问对边距离B是多少？

【例】设工件(图1-20)槽深H=10mm，要在长15mm内用圆弧来连接，问圆弧半径R为多少？

【例】图1-21的圆轴，大直径D=35mm，小直径d=25mm，在大小两轴间的8mm长度内以圆弧连接(即L=8mm)，求圆角半径R为多少？

【例】某工件的大小圆轴间的圆弧半径R=8mm，大轴直径D=40mm，小轴直径d-32mm，问圆弧部分的轴向长度L为多少？

【例】要加工一个正三角形冲模的冲头，三角形边长是30mm，如果用圆形工具钢来加工，问该用多大直径的圆料？

【例】一圆锥体底圆直径D= 100mm，垂直高h=140mm，问斜高1为多少？

【例】一截圆锥体上底直径d-200mm，下底直径D=320mm，垂直高h=210mm，求算它的斜高1为多少？