【概念】

1.不定方程：未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是整数）的方程。

2.同余方程

设函数 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ ，则称： $f(x)\equiv0(mod\:m)$ 是关于模 m 的同余方程

3.线性：方程的未知数次数是一次

4.线性同余方程

线性同余方程是最基本的同余方程，形如 $ax \equiv b (mod\: m)$ 的未知数是 x 的同余式，其中，a、b 是整数，且 $a\neq 0 (mod\: m)$

【与线性同余方程有关的定理】

1.定理1：对于二元一次方程，其等价为，该方程有整数解的充分条件是，若方程有整数解，则共有个解。

2.定理2：若、为的一组解，则该方程的任一解可表示为：

注意，上面两个通解公式只能选择其中一个，另一个再根据原方程推出。

3.定理3：若 $GCD(a,b)=d$ ，则方程在 $[0, b/d - 1]$ 上有唯一解。

【线性同余方程的解的求法】

1.使用扩展欧几里德算法求方程的一组解

根据定理1，对于方程，用扩展欧几里德算法求出一组、，即令，然后两边同除，再乘以 c ，即得方程，因此可知方程的一组解

2.实际应用

实际中，常常被要求去求最小的正整数的解，先通过扩展欧几里德算法求出方程的一组、，再设，通过定理2来拓展方程的解，来调整x的范围，将拓展为，从而使得所得到的 x 尽可能的小，通过式子来约束结果一定是一个正数，最后所得到的 x 即是一个最小的正整数解。

【模版】

#include<iostream>
using namespace std;
int Extended_GCD(int a,int b,int &x,int &y)
{if(b==0){x=1;y=0;return a;}int temp;int gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);return gcd;
}
int main()
{//形如 ax+by=cint a,b,c,x,y;cin>>a>>b>>c;int gcd=Extended_GCD(a,b,x,y);if(c%gcd!=0)cout<<"无整数解"<<endl;elsecout<<"该方程的一组整数解为：x="<<x*c/gcd<<",y="<<y*c/gcd<<endl;return 0;
}

【例题】

青蛙的约会（POJ-1061）(扩展欧几里得)：点击这里
同题：青蛙的约会（洛谷-P1516）：点击这里
The Balance（POJ-2142）(线性同余方程)：点击这里
C Looooops（POJ-2115）(线性同余方程)：点击这里

数论 —— 线性同余方程相关推荐

数论 —— 线性同余方程组与中国剩余定理
[线性同余方程组] 由若干个线性同余方程构成的线性方程组. 例如: 其解法最早由我国<孙子算经>给出,因此解法称为"孙子定理",又叫"中国剩余定理" ...
数论学习之（一）：一元线性同余方程和二元一次不等式
看(ACM-ICPC程序设计系列)<数论及应用>第一章,讲到扩展欧几里德算法时,讲到POJ上的一个题目:POJ1061,看了很久也没看懂,可能是数学基础太差了吧! 还好的是我把不懂的地方跳 ...
【数论】同余（五）：多元线性同余方程
同余问题共7part,我的博客链接: 基本概念与性质逆元:概念.求解方法与推导线性同余方程一元线性同余方程一元线性同余方程组多元线性同余方程高次同余方程:BSGS算法(大小步算法.拔山盖世 ...
【数论】同余（四）：一元线性同余方程组（两两相消、中国剩余定理）
同余问题共7part,我的博客链接: 基本概念与性质逆元:概念.求解方法与推导线性同余方程一元线性同余方程一元线性同余方程组多元线性同余方程高次同余方程:BSGS算法(大小步算法.拔山盖世 ...
数论 - n元线性同余方程的解法
note:n元线性同余方程因其编程的特殊性,一般在acm中用的很少,这里只是出于兴趣学了一下 n元线性同余方程的概念: 形如:(a1*x1+a2*x2+....+an*xn)%m=b%m ...
线性同余方程和中国剩余定理学习笔记
线性同余方程介绍形如 a x ≡ c ( m o d b ) ax \equiv c \pmod b ax≡c(modb) 的方程被称为线性同余方程(Congruence Equation). 求 ...
线性同余方程组-中国剩余定理or合并方程
线性同余方程组完整代码见https://github.com/YIWANFENG/Algorithm-github 即若干个线性同余方程的组合. 求解方式可以参考我们普通的方程组,先解式1,将式1的 ...
专题·扩展欧几里得定理【including 求解二元一次方程，线性同余方程
初见安~这里是基础数论专题(3)~[详见数论专栏] p.s:本文章假设你已经掌握了欧几里得算法--辗转相除法求最大公约数(gcd) 一.二元一次方程形如的含有两个未知数且最高次数为1的方程我们称之为 ...
flare-on 7 break第三部分求解：一元线性同余方程
思考的结论:其实这种国际性的逆向比赛,肯定会考一些数学的知识,这个考的是比较基础了,无奈自己没有这个基础. 话说还是flare 7的break这道题,到了最后,第三步验证,函数竟然来到了0x08053 ...

数论 —— 线性同余方程