专题·扩展欧几里得定理【including 求解二元一次方程，线性同余方程

初见安~这里是基础数论专题（3）~【详见数论专栏】

p.s：本文章假设你已经掌握了欧几里得算法——辗转相除法求最大公约数（gcd）

一、二元一次方程

形如 $ax+by=c$ 的含有两个未知数且最高次数为1的方程我们称之为二元一次方程。

很显然，一般的二元一次方程的解都是有很多组的，并没有唯一解。

我们先不讨论其他的，尝试一下解方程的整数解：）

我们知道，在辗转相除法中，gcd（a，b）=gcd（b，a % b）。而取余的操作又可以写成：a - a / b * b（这里是整除），所以带入原式子可以得到：

$ax+by=c; bx'+(a-a/b*b)y'=c;$

再由此可得：

$x = y'; y = x' -a/b*y'$

而x‘ 和y'在辗转相除法中都可以逆推回来，也就是说可以得到这么一个表格：

以99x + 78y = 6为例

a	b	a/b	x	y
99	78	1	-22	28
78	21	3	6	-22
21	15	1	-4	6
15	6	2	2	-4
6	3	2	0	2
3	0	NA	2	0

左边两列由上往下通过辗转相除法推出，靠右两列从下往上通过刚才得出的公式推出，得到一组特解：x = -22， y = 28。

那么如何表示出所有的解呢？

很明显的，在特解（x0， y0）的基础上，其余均有（x0 + d1 * k, y0 + d2 * k）（k为整数）作为解成立。即

$a * (x_{0} + d_{1} * k) + b * (y_{0} + d_{2} * k) = c$ 。再结合ax + by = c可得： $\frac{d_{1}}{d_{2}} = -\frac{b}{a} = -\frac{\frac{b}{gcd(a, b)}}{\frac{a}{gcd(a, b)}}$

所以可以表示得到： $d_{1} = \frac{b}{gcd(a, b)}, d_{2} = -\frac{a}{gcd(a, b)}$

所以方程的解就可以表示为：

$x = x_{0} + k * \frac{b}{gcd(a, b)}, y = y_{0} - k * \frac{a}{gdc(a, b)}$

如上述例子中，x0 = -22，y0 = 28，则通解为：（-22 + 26k， 28 - 33k）（k为整数）。

如此解法，就是扩展欧几里得定理。

代码实现的话直接套用我们表格旁的公式，递归gcd后回溯时计算即可。【记得保存x'】

二、线性同余方程

形如 $ax\equiv b(mod n)$ ，即 $ax mod n=b$ 且唯一未知数为一次的方程为线性同余方程。

x为同余方程a关于b模n的解。也就是说ax和b同余。x一定为整数。

那么线性同余方程如何求解呢？首先我们观察—— $ax mod n=b$ ，那么为我们可以通过取余的性质转化为 $ax+ny=b$ 这么一个二元一次方程来求解就行啦。

但是这里有一个问题——同余和二元一次方程还是有区别的，同余的话不一定有解。在欧几里得定理的基础上，我们可以求得 $ax+ny=gcd(a,n)$ 的整数解，但是如果b并不是gcd（a，n）的倍数的话，求解出来的同余方程的解就是个分数了，也就是无解。

那么如果有解呢——因为同余方程有个取余的操作，也就是说x % d = x，(x + d)%d=x。所以如果有解，则恰好有gcd（a，n）个解。

求解同余方程的时候一定要注意一个问题——你求的ax + ny到底是b还是gcd(a, n)，因为这涉及到一个到底是处理结果x还是处理a、n的问题，一定要小心。

代码的话就在扩欧的最后特判是否有解即可，具体操作具体到题目上。

关于求同余方程最小正整数解的问题，在逆元（传送门建设中）讲解后补充上~

迎评：）
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