杨辉三角、组合数 性质的探究
- 1、每个数等于它上方两数之和。
- ：可用于dp、前缀和
- 2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
- ：可用于简化递推、优化
- 3、第n行的数字有n项。
- ：可用于dp、循环的上下界确定。
- 第n行数字和为2n-1。
- ：可用于数论求和、、
- 第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
- ：用于快速求和
- 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
- ：对称性
- 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
- ：组合数的性质
- (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
- ：数论可能
- 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
- ：联系菲波那切数列
- 将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为 25937424601=1110。
- ：与11的次方关系；
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