动态规划多段图和货郎担问题

一、实验目的

1．掌握能用动态规划方法求解的问题应满足的条件；
2．加深对动态规划方法的理解与应用；
3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；
4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

二．实验内容

对于任意数目的n个城市，分别用1～n编号，则这个问题归结为在有向带权图中，寻找一条路径最短的哈密尔顿回路问题。

三．实验要求

（1）用动态规划方法货郎担问题；
（2）上机实现所设计的算法；

四．实验过程设计（算法设计过程）

动态规划的思想实质是分治思想和解决冗余。与分治法类似的是，将原问题分解成若干个子问题，先求解子问题，再从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，经分解的子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解，有些共同部分（子问题或子子问题）被重复计算了很多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，在需要时再查找，这样就可以避免重复计算、节省时间。动态规划法用一个表来记录所有已解的子问题的答案。
动态规划方法的基本思想是，把求解的问题分成许多阶段或多个子问题，然后按顺序求解各子问题。最后一个子问题就是初始问题的解。
由于动态规划的问题有重叠子问题的特点，为了减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。
1、多段图
1）从最后一段算起，找出每段的每个点的最短距离；
2）每段逐一向前推，直到算至起点；
3）比较从起点到终点的距离得出最短距离。
2、货郎担
假设周游路线是开始于结点1并终止于结点1的了条简单路径。每一条周游路线都由一条边(1，k)和一条由结点k到结点1的路径所组成，其中k∈V-{1}；而这条由结点k到结点1的路径通过V-{1，k}的每个结点各一次。容易看出，如果这条周游路线是最优的，那么这条由k到1的路径必定是通过V-{1,k}中所有结点的由k到1的最短路径，因此最优性原理成立。设g(i，S)是由结点i开始，通过S中的所有结点，在结点1终止的一条最短路径长度。g(1，V-{1})是一条最优的周游路线长度。于是可以得出
g(1，V-{1})＝min{ +g(k，V-{1,k})}
将其一般化可得
g(i，S)—min{ +g(j，S-{j})}

五．源代码

1、多段图

#include <iostream>
#include <vector>#define MAX 9999
using namespace std;void initGraph(vector<vector<int> > &g, vector<vector<int> > &s) {cout << "输入边信息：（顶点a 顶点b 权值w）（输入0结束）" << endl;int i, j;while (cin >> i && i) {cin >> j;cin >> g[i][j];}cout << "输入起点：";cin >> s[1][0];int level;cout << "输入中间阶段数：（不含起点和终点层）";cin >> level;int a = 2;for (int i = 1; i <= level; i++) {cout << "输入中间第" << i << "阶段的点：（输入0结束）";int k, j = 0;while (cin >> k && k) {s[a][j++] = k;}a++;}cout << "输入终点：";cin >> s[a][0];
}void way(vector<vector<int> > &g, vector<vector<int> > &s, vector<vector<int> > &f, vector<int> &result) {int n = g.size() - 1;int level, i;    for (i = 1; i <= n; i++) if (s[i][0] == 0)break;level = i - 1;int t = n;int start = s[1][0];int end = s[level][0];for (i = level - 1; i >= 1; i--){int j = 0;while (s[i][j]){int m = 0; f[i][j] = MAX;if (g[s[i][j]][end] == MAX){while (s[i + 1][m] != 0){if (g[s[i][j]][s[i + 1][m]] != MAX){if (f[i][j] > (f[i + 1][m] + g[s[i][j]][s[i + 1][m]])){f[i][j] = f[i + 1][m] + g[s[i][j]][s[i + 1][m]];result[s[i][j]] = s[i + 1][m];t--;}}m++;}}else{while (s[i + 1][m] != 0){if (f[i][j] > (f[i + 1][m] + g[s[i][j]][s[i + 1][m]])){f[i][j] = f[i + 1][m] + g[s[i][j]][s[i + 1][m]];result[s[i][j]] = s[i + 1][m];t--;}m++;}}j++;}}
}void print(vector<int> &result, vector<vector<int> > &s, vector<vector<int> > &f) {int n = result.size() - 1;cout << "最短路径为：";int t = s[1][0];cout << t;  while (result[t] != s[n][0]) {cout << " ->" << result[t];t = result[t];}cout << endl << "最短距离为：" << f[1][0] << endl;
}int main() {int vexNum;cout << "输入点的个数：";cin >> vexNum;vector<vector<int> > graph(vexNum + 1, vector<int>(vexNum + 1, MAX));vector<vector<int> > s(vexNum + 1, vector<int>(vexNum + 1, 0));   vector<vector<int> > f(vexNum + 1, vector<int>(vexNum + 1, 0)); vector<int > result(vexNum + 1, 0);  initGraph(graph, s);    way(graph, s, f, result);print(result, s, f);       system("pause");return 0;
}

运行结果示例：

2.货郎担问题

#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;int n;
int cost[20][20];
bool done[20] = { 1 };
int start = 0;
int imin(int num, int cur)
{if (num == 1)  return cost[cur][start];  int  mincost = 10000;for (int i = 0; i < n; i++){cout << i << "  i:" << done[i] << endl;if (!done[i] && i != start) {done[i] = 1;  int value = cost[cur][i] + imin(num - 1, i);if (mincost > value){mincost = value;cout << mincost << endl;}done[i] = 0;}}return mincost;
}int main()
{cout << "请输入n的值"<<endl;cin >> n;int cc[100][100];for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){cout << "请输入各成本值" << endl;cin >> cc[i][j];cost[i][j] = cc[i][j];}}cout << imin(n, start) << endl;return 0;
}