动态规划中的多段图问题

多段图的最短路径问题：只有相邻的节点之间有联系
多段图的定义：
1.多段图是一个有向、无环、带权图。
2.有且仅有一个起始结点（原点source）和 一个终止结点（汇点target）。
3.它有n个阶段，每个阶段由特定的几个结点构成。每个结点的所有结点都只能指向下一个相邻的阶段，阶段之间不能越界。

算法步骤：
从前往后依次给所有结点编号；序号必须从0开始，依次递增，同一阶段的结点顺序可以随意；

1.计算s->t的最短路径问题：首先进行部分分解d(s,v)
递推公式：

2.根据递推公式求出该图的最短路径问题：

所以最终的最短距离是16
算法求解：使用Dijkstra算法，Bellman-ford算法，SPFA算法求解
注：Bellman-ford算法和SPFA算法适用于有向无环带负权图。
path[maxx]记录路径，其实这里我并没有用到这个数组，我用的是递归输出路径的；
e[maxx][maxx]表示两点之间的权值；
pre[maxx]记录前驱节点；
vis[maxx]标记访问情况；
mincost是所求的最短路径；

Dijkstra算法
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxx=105;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int path[maxx];
int e[maxx][maxx];
int dist[maxx];
int pre[maxx];
int vis[maxx];
int n,m;
int mincost;
void init(){mincost=0;memset(path,0,sizeof(path));memset(dist,inf,sizeof(dist));memset(vis,0,sizeof(vis));memset(pre,0,sizeof(pre));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j){e[i][j]=0;}else{e[i][j]=inf;}}}
}
void Print(int i){if(i==1)return ;Print(pre[i]);cout<<"->"<<i-1;
}
void Mindist(int s,int v){for(int i=1;i<=n;i++){if(e[s][i]!=inf&&i!=s){dist[i]=e[s][i];pre[i]=s;}}vis[s]=1;dist[s]=0;for(int i=1;i<=n;i++){int temp=inf;int t=s;for(int j=1;j<=n;j++){if(!vis[j]&&dist[j]<temp){temp=dist[j];t=j;}}if(t==s)break;vis[t]=1;for(int j=1;j<=n;j++){if(e[t][j]<inf){if(!vis[j]&&dist[j]>dist[t]+e[t][j]){dist[j]=dist[t]+e[t][j];pre[j]=t;}}}}cout<<"最短距离: "<<dist[v]<<endl; cout<<s-1;Print(v);cout<<endl;
}
int main(){while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){if(n==0&&m==0)break;init();for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,cost;scanf("%d %d %d",&a,&b,&cost);a++;b++;e[a][b]=cost;}Mindist(1,n);}return 0;
}10 18
0 1 4
0 2 2
0 3 3
1 4 9
1 5 8
2 4 6
2 5 8
2 6 8
3 6 7
3 5 4
4 7 5
4 8 6
5 7 8
5 8 6
6 7 6
6 8 5
7 9 7
8 9 3

Bellman-ford算法求解：这里我们不需要判断负环
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxx=105;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int path[maxx];
int dist[maxx];
int pre[maxx];
int vis[maxx];
int n,m;
int mincost;
struct node{int u,v;int w;
}e[maxx];
void init(){mincost=0;memset(path,0,sizeof(path));memset(dist,inf,sizeof(dist));memset(vis,0,sizeof(vis));memset(pre,0,sizeof(pre));
}
void Print(int i){if(i==1)return ;Print(pre[i]);cout<<"->"<<i-1;
}
void Bellman_ford(int s,int v){dist[s]=0;int flag;for(int i=1;i<=n-1;i++){flag=1;for(int j=1;j<=m;j++){if(dist[e[j].v]>dist[e[j].u]+e[j].w){dist[e[j].v]=dist[e[j].u]+e[j].w;pre[e[j].v]=e[j].u;flag=0;}}if(flag==1)break;}cout<<"最短距离: "<<dist[v]<<endl; cout<<s-1;Print(v);cout<<endl;
}
int main(){while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){if(n==0&&m==0)break;init();for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,cost;scanf("%d %d %d",&a,&b,&cost);a++;b++;e[i].u=a;e[i].v=b;e[i].w=cost;}Bellman_ford(1,n);}return 0;
}10 18
0 1 4
0 2 2
0 3 3
1 4 9
1 5 8
2 4 6
2 5 8
2 6 8
3 6 7
3 5 4
4 7 5
4 8 6
5 7 8
5 8 6
6 7 6
6 8 5
7 9 7
8 9 3

SPFA算法：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxx=105;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int e[maxx][maxx];
int path[maxx];
int dist[maxx];
int pre[maxx];
int vis[maxx];
int n,m;
int mincost;
vector<int>G[maxx];
queue<int>q;
void init(){mincost=0;memset(path,0,sizeof(path));memset(dist,inf,sizeof(dist));memset(vis,0,sizeof(vis));memset(pre,0,sizeof(pre));for(int i=1;i<=n;i++){G[i].clear();for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j){e[i][j]=0;}else{e[i][j]=inf;}}}
}
void Print(int i){if(i==1)return ;Print(pre[i]);cout<<"->"<<i-1;
}
void SPFA(int s,int v){dist[s]=0;vis[s]=1;q.push(s);while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;for(int i=0;i<G[u].size();i++){int v=G[u][i];if(dist[v]>dist[u]+e[u][v]){dist[v]=dist[u]+e[u][v];pre[v]=u;if(vis[v]==0){q.push(v);vis[v]=1;}}}}cout<<"最短距离: "<<dist[v]<<endl; cout<<s-1;Print(v);cout<<endl;
}
int main(){while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){if(n==0&&m==0)break;init();for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,cost;scanf("%d %d %d",&a,&b,&cost);a++;b++;e[a][b]=cost;G[a].push_back(b);}SPFA(1,n);}return 0;
}10 18
0 1 4
0 2 2
0 3 3
1 4 9
1 5 8
2 4 6
2 5 8
2 6 8
3 6 7
3 5 4
4 7 5
4 8 6
5 7 8
5 8 6
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6 8 5
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