分治法——棋盘覆盖问题/L形组件填图问题（Java实现）

问题描述

设B是一个n×n棋盘，n=2k,(k=1,2,3,…)。用分治法设计一个算法，使得：用若干个L型条块可以覆盖住B的除一个特殊方格外的所有方格。其中，一个L型条块可以覆盖3个方格。且任意两个L型条块不能重叠覆盖棋盘。

例如：如果n=2，则存在4个方格，其中，除一个方格外，其余3个方格可被一L型条块覆盖；当n=4时，则存在16个方格，其中，除一个方格外，其余15个方格被5个L型条块覆盖。

具体要求

输入一个正整数n，表示棋盘的大小是n*n的。输出一个被L型条块覆盖的n*n棋盘。该棋盘除一个方格外，其余各方格都被L型条块覆盖住。为区别出各个方格是被哪个L型条块所覆盖，每个L型条块用不同的数字或颜色、标记表示。

测试数据

输入：8

输出：

解题思路

分治法

（一）什么是分治法

要想使用分治法解决此问题，我们就先需要了解一下什么是分治法。

分治法，简单来说，就是把一个问题不断地切分成与原问题性质相同、规模更小的子问题，直到子问题的规模足够小到可以直接求解，然后将子问题的解组合起来，得到原问题的解。

（二）分治法的一般解题步骤

由于分治法本身的递归特性，一般用递归实现分治算法。

分治法解题往往采用递归的方法实现，在递归求解子问题时同样要注意理清递归关系、递归出口、参数设置等问题。

最后，通过组合子问题形成原问题的解。

问题分析

面对L形组件填图问题，第一步我们需要思考如何划分

一个n * n的棋盘，我们可以想到有下面几种划分方式

我们可以看到，前两种划分会造成一个问题：划分后的子棋盘变成了长方形，而原问题是一个n * n的正方形，导致子问题性质和原问题性质不一样

所以，应采用第三种划分方式。

但这样子问题的性质就和原问题性质一样了吗？

注意，我们原问题所在的棋盘是有一个特殊方块（或者说是残缺方块），将原来的棋盘划分成四个子棋盘后，其中的一个子棋盘仍有特殊方块，但剩下的三个子棋盘没有特殊方块！

那如何使剩下的三个子棋盘都有特殊方块呢？

我们可以刚好依照问题要求，使用L形条块进行填充，作为该子棋盘的特殊方块，使得子问题与原问题性质相同

如此之后，我们就可以使用递归，求解问题

代码实现

棋盘表示

我们使用二维整型数组表示棋盘，使用数字（1、2、3....）进行填充，用0表示原问题的特殊方块（残缺方块）

区分四种棋盘

划分以后，我们会出现下面四种情况

如何区分四个子棋盘，以及如何区分特殊方块在哪一个子棋盘（左上、右上、左下、右下）中呢？

我们利用棋盘左上角的坐标和原棋盘大小（leftRow、leftCol、size）来标识一个棋盘

用specialRow、specialCol来表示特殊方块（残缺格）的位置

如果特殊方块在左上的子棋盘中

即specialRow < leftRow + size/2 && specialCol < leftCol + size/2

第一步：递归该子棋盘

第二步：填充L型组件（即填充图中的蓝色方块）

第三步：递归其他三个子棋盘

如果特殊方块在右上的子棋盘中

即specialRow < leftRow + size/2 && specialCol > leftCol + size/2

....（同上）

如果特殊方块在左下的子棋盘中

即specialRow > leftRow + size/2 && specialCol < leftCol + size/2

...（同上）

如果特殊方块在右下的子棋盘中

即specialRow > leftRow + size/2 && specialCol > leftCol + size/2

...（同上）

具体代码（java）

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Test1 {static int size;//棋盘大小static int[][] arr;//表示棋盘static int count = 1;//定义一个静态count用于填充public static void main(String[] args) {//1.接收参数nScanner sc = new Scanner(System.in);size = sc.nextInt();//2.创建n*n大小的二维数组arr = new int[size][size];//3.随机指定某一个位置为特殊方块(暂时假设第一行第一个元素为特殊方块)arr[0][0] = 0;Cover(0,0,0,0,size);Output(size);}//4.定义解决问题的函数public static void Cover(int leftRow,int leftCol,int specialRow,int specialCol,int size){//出口if(size < 2){return;}count++;int flag = count;//如果特殊方块在左上子棋盘if(specialRow < leftRow + size/2 && specialCol < leftCol + size/2){//递归覆盖该子棋盘Cover(leftRow,leftCol,specialRow,specialCol,size/2);//使得剩余的三个子棋盘性质与原问题相同arr[leftRow + size/2 - 1][leftCol + size/2] = flag;//填充右上子棋盘左下角arr[leftRow + size/2][leftCol + size/2 - 1] = flag;//填充左下子棋盘右上角arr[leftRow + size/2][leftCol + size/2] = flag;//填充右下棋盘左上角//递归覆盖三个子棋盘Cover(leftRow,leftCol+size/2,leftRow + size/2 - 1, leftCol + size/2,size/2);//右上子棋盘Cover(leftRow + size/2,leftCol,leftRow + size/2,leftCol + size/2 - 1,size/2);//左下子棋盘Cover(leftRow + size/2,leftCol + size/2,leftRow + size/2,leftCol + size/2,size/2);//右下子棋盘}else if(specialRow < leftRow + size/2 && specialCol >= leftCol + size/2){//如果特殊方块在右上子棋盘Cover(leftRow,leftCol + size/2,specialRow,specialCol,size/2);arr[leftRow + size/2 - 1][leftCol + size/2 - 1] = flag;//填充左上子棋盘右下角arr[leftRow + size/2][leftCol + size/2 - 1] = flag;//填充左下子棋盘右上角arr[leftRow + size/2][leftCol + size/2] = flag;//填充右下棋盘左上角Cover(leftRow,leftCol,leftRow + size/2 - 1, leftCol + size/2 - 1,size/2);//左上子棋盘Cover(leftRow + size/2,leftCol,leftRow + size/2,leftCol + size/2 - 1,size/2);//左下子棋盘Cover(leftRow + size/2,leftCol + size/2,leftRow + size/2,leftCol + size/2,size/2);//右下子棋盘}else if(specialRow >= leftRow + size/2 && specialCol < leftCol + size/2){//如果特殊方块在左下子棋盘Cover(leftRow + size/2,leftCol,specialRow,specialCol,size/2);arr[leftRow + size/2 - 1][leftCol + size/2 - 1] = flag;//填充左上子棋盘右下角arr[leftRow + size/2 - 1][leftCol + size/2] = flag;//填充右上子棋盘左下角arr[leftRow + size/2][leftCol + size/2] = flag;//填充右下棋盘左上角Cover(leftRow,leftCol,leftRow + size/2 - 1, leftCol + size/2 - 1,size/2);//左上子棋盘Cover(leftRow,leftCol+size/2,leftRow + size/2 - 1, leftCol + size/2,size/2);//右上子棋盘Cover(leftRow + size/2,leftCol + size/2,leftRow + size/2,leftCol + size/2,size/2);//右下子棋盘}else if(specialRow >= leftRow + size/2 && specialCol >= leftCol + size/2){//如果特殊方块在右下子棋盘Cover(leftRow + size/2,leftCol + size/2,specialRow,specialCol,size/2);arr[leftRow + size/2 - 1][leftCol + size/2 - 1] = flag;//填充左上子棋盘左下角arr[leftRow + size/2 - 1][leftCol + size/2] = flag;//填充右上子棋盘左下角arr[leftRow + size/2][leftCol + size/2 - 1] = flag;//填充左下子棋盘右上角Cover(leftRow,leftCol+size/2,leftRow + size/2 - 1, leftCol + size/2,size/2);//右上子棋盘Cover(leftRow + size/2,leftCol,leftRow + size/2,leftCol + size/2 - 1,size/2);//左下子棋盘Cover(leftRow + size/2,leftCol + size/2,leftRow + size/2,leftCol + size/2,size/2);//右下子棋盘}}public static void Output(int size){for (int i = 0; i < size; i++) {for (int j = 0; j < size; j++) {System.out.print(arr[i][j] + "\t");}System.out.println("");}}
}

运行结果

今天的内容就介绍到这啦，若对你有帮助的话就点个赞