分治法解决棋盘覆盖问题

问题描述：

在一个2k×2k（k≥0）个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格。显然，特殊方格在棋盘中出现的位置有4k中情形，因而有4k中不同的棋盘。棋盘覆盖问题要求用下图所示的4中不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何两个L型骨牌不得重复覆盖

算法设计：

使用分治策略。在一个2k *2k的棋盘中，当k大于0时，可以将棋盘分割成4个2k-1*2k-1子棋盘。如图所示：

特殊的方格位于4个较小的棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这三个较小棋盘汇合处，这三个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原来的问题简化成了4个更小规模的棋盘覆盖问题。递归的使用这种分割，直至棋盘简化为1*1的棋盘。

代码实现：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#define MAX 32767
void initChess(int size);
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size);
void printChess(int size);
bool isLog2(int n);
int **Board;//棋盘，用于记录覆盖的顺序
int tile=1;//标记第几次覆盖 int main(){int size;printf("请输入棋盘的大小，棋盘大小应为2^k(k>0)\n"); scanf("%d",&size);//判断是否规模超过限制 if(size>MAX){printf("问题规模过大！"); }else if(isLog2(size)) {//判断规模是否为2的k次方 initChess(size);ChessBoard(0,0,0,(size/2)-1,size);printChess(size);return 0;}else{printf("请输入2^k的数(k>0)！\n"); }} void printChess(int size){printf("棋盘覆盖顺序如下：\n\n");for(int i=0;i<size;i++){for(int j=0;j<size;j++){printf("%d\t",Board[i][j]);}printf("\n\n");}
} void initChess(int size){Board=(int **)malloc(size*sizeof(int *));for(int i=0;i<size;i++){Board[i]=(int *)malloc(size*sizeof(int));}for(int x=0;x<size;x++){for(int y=0;y<size;y++){Board[x][y]=0;}}
}
//用于判断是否为2的k次方
bool isLog2(int n){if(n<0){return false;} double result=log(n)/log(2);if(result-(int)result==0){return true;}return false;
}//tr：棋盘左上角方格行号
//td：棋盘左上角方格列号
//dr：棋盘特殊方格行号
//dt：棋盘特殊方格列号
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size){if(size==1){return;} int t=tile++;int s=size/2;//覆盖棋盘左上角棋盘//如果特殊方格在此棋盘中，继续调用方法覆盖此棋盘//如果不在此棋盘中，设置右下角方格为特殊方格，调用方法覆盖此棋盘 if(dr<tr+s&&dc<tc+s){ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);} else{Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);}//覆盖棋盘右上角棋盘 if(dr<tr+s&&dc>=tc+s){ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);}else{ Board[tr+s-1][tc+s]=t;ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);}//覆盖棋盘左下角棋盘 if(dr>=tr+s&&dc<tc+s){ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);}else{Board[tr+s][tc+s-1]=t;ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);}//覆盖棋盘右下角棋盘 if(dr>=tr+s&&dc>=tc+s){ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);}else{Board[tr+s][tc+s]=t;ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);}}

运行结果：

时间复杂度分析：

解递归方程的时间复杂度为：O(n)=O(4k)。

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