Sicily 1136 山海经（SOJ 1136）【Segment Tree 线段树】

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这题花了整整一天来做，错误基本都是TLE，但是做完非常哈皮，因为感觉比较好地运用了线段树这个数据结构。话说这几天广东不是一般热，中午根本睡不着，满身黏糊糊，课室和图书馆倒成了平时宅男的去处，不过这仅仅限于他们宿舍没有开空调的情况下·····然后昨天的过劳导致了今天的脖子和肩膀连成一片的疼，而且我能明显感觉到头脑恍惚。

呃，这题我感觉是可以好好写，但是感觉现在写解题报告好像变懒了，懒不得懒不得，等会儿妹子下课了去吃个雪糕，夏日已来么？

————————正文————————

我看了一下网上各位大牛的代码，可以说我的代码还是比较短的，当然也达到了120行的水平，哎可能是“自家孩子最漂亮”的缘故，哈哈，若有冒犯多多包涵。

这题的数据设计得非常恰到好处，就掐着你O(n^2)的算法肯定是过不了的，数据一点都不水。下面说下这题的思路。

线段树其实是个比较容易弄懂的东西，在这题上面，唯一的难点就是如果查询的范围刚好跨了两棵子树怎么办？下面以有5个数字的序列举例，其线段树如下：

上面每个节点都保存了这一段的最大连续和（smax），获得最大连续和时的左下标和右下标（sl和sr）。

最大连续和smax怎么来？

1. 可能是从左子树来

2. 可能是从右子树来

3. 可能是：左子树中包含最右序号的最大连续和+右子树中包含最左序号的最大连续和

对于节点（1,5），如果碰到情况3，那么就要知道：a. 当前节点的左儿子在包含最右序号（即3）时的最大连续值； b. 以及右儿子在包含最左序号（即4）时的最大连续值，然后相加即可。

将a中的值保存在节点的rmax中，而达到rmax时的左序号保存在rmn中；同理将b中的值保存在节点的lmax中，达到lmax时的右序号保存在lmn中。

（说了这么多，是不是觉得很乱，其实不用太过咬文嚼字，先有个大概想下你觉得应该是怎么计算的，然后再来套上面这些文字。）

现在另外一个问题来了，怎么计算rmax和lmax？如果每次都额外再用O(N)的算法来计算当前节点的lmax和rmax，那么会超时，为什么呢，粗略可以估计一下线段树的节点数是2N，如果对每个节点都使用O(N)的算法来计算那么将会达到O(N^2)复杂度，会直接卡死。所以要找O(1)的方法。

其实稍微思考下，当前节点的lmax，rmax可以由两个子节点得到，lmax不外乎以下2种情况：

1. 左儿子的所有元素和+右儿子的lmax

2. 左儿子的lmax

rmax同理，所以这个问题也解决了。

如果我查（2， 5）的最大连续和那怎么办？很明显这个查询在去到（1,5）的时候就会卡住，我们知道，其实（1,5）的最大值可能是以下三种情况之一：

1. 可能是(2,3)的最大值

2. 可能是（4,5）的最大值

3. 可能是（2,5）中同时包含下标3和4的子集的最大值，如（2,4），（2,5），（3,4），（3,5）

我们使用的是递归查找，情况1和情况2都可以直接往下走，因为这两种情况下序列的范围是儿子节点的序列范围的子集

对于情况3，其实十分类似找lmax与rmax，但是要计算必须知道子节点的lmax与rmax，（2,5）的子节点是什么？问得好，其实我们对于每一个查询，重新建立一棵临时的树就好了，要注意的是这棵树可能不是平衡的，可能左树高点，可能右树高点，但是计算方法是一样的。对于（2,5），临时的线段树如下：

这棵树的建立方法基本相同，具体参见代码即可，看懂了上面代码也非常容易看明白了。多说一句，用cin和cout会超时

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#define RANGE 100005
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;
struct node
{int l,r,sum;            //当前节点左边界、右边界、元素总和int lmn,rmn,lmax,rmax;  //从左边界开始连续到第lmn位置元素和，有最大值lmax//从右边界开始连续到第rmn位置元素和，有最大值rmaxint lson,rson;           //节点左儿子和右儿子的编号int sl,sr,smax;         //当前序列从sl到sr能取得最大连续值smax
}nn[RANGE*6];               //输入的线段树需要的空间为2*N（开3*N的数组)，计算时建立新树，故翻倍
int n,m,a[RANGE*2];
int nnum;                   //每次解决查询时，建立新的线段树节点的开始下标void computeMax(int index, int ls, int rs)//计算index节点的sum,sl,sr,smax,lmn,lmax,rmn,rmax
{int tmp;nn[index].sum=nn[ls].sum+nn[rs].sum;nn[index].smax=nn[ls].smax;nn[index].sl=nn[ls].sl;nn[index].sr=nn[ls].sr;tmp=nn[ls].rmax+nn[rs].lmax;if(tmp>nn[index].smax || (tmp==nn[index].smax && nn[ls].rmn<nn[index].sl)){nn[index].smax=nn[ls].rmax+nn[rs].lmax;nn[index].sl=nn[ls].rmn;nn[index].sr=nn[rs].lmn;}if(nn[rs].smax>nn[index].smax){nn[index].smax=nn[rs].smax;nn[index].sl=nn[rs].sl;nn[index].sr=nn[rs].sr;}//计算当前节点的lmax与rmaxtmp=nn[ls].sum+nn[rs].lmax;if(tmp>nn[ls].lmax){nn[index].lmax=tmp;nn[index].lmn=nn[rs].lmn;}else{nn[index].lmax=nn[ls].lmax;nn[index].lmn=nn[ls].lmn;}tmp=nn[rs].sum+nn[ls].rmax;if(tmp>=nn[rs].rmax)//注意等于号{nn[index].rmax=tmp;nn[index].rmn=nn[ls].rmn;}else{nn[index].rmax=nn[rs].rmax;nn[index].rmn=nn[rs].rmn;}
}
int compute(int l, int r, int index)
{if(l==nn[index].l && r==nn[index].r)return index;int ls=index*2;      //左二子标号int rs=index*2+1;   //右儿子标号if(r<=nn[ls].r)return compute(l,r,ls);else if(l>=nn[rs].l)return compute(l,r,rs);else{int nindex=nnum++;nn[nindex].l=l; nn[nindex].r=r;nn[nindex].lson=compute(l,nn[ls].r,ls);nn[nindex].rson=compute(nn[ls].r+1,r,rs);computeMax(nindex, nn[nindex].lson, nn[nindex].rson);return nindex;}
}
void buildTree(int l, int r, int index)
{nn[index].l = l;nn[index].r = r;if(l==r){nn[index].sum=nn[index].smax=nn[index].lmax=nn[index].rmax=a[l];nn[index].lmn=nn[index].rmn=nn[index].sl=nn[index].sr=l;return;}int mid=(l+r)/2;int ls,rs;   //左右儿子编号ls=index*2; rs=index*2+1;buildTree(l,mid,ls);buildTree(mid+1,r,rs);computeMax(index, ls, rs);
}
int main()
{//freopen("in","r",stdin);//freopen("out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);buildTree(1,n,1);for(int i=1;i<=m;++i){int tmpa,tmpb;scanf("%d%d",&tmpa,&tmpb);nnum=3*n+1;int nindex = compute(tmpa,tmpb,1);printf("%d %d %d\n", nn[nindex].sl, nn[nindex].sr, nn[nindex].smax);}
}

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