JLU-数据结构荣誉课-第一次实验-解题报告

一、重复计数
- 题目
- 思路
- 参考代码
二、报数游戏
- 题目
- 思路
- 参考代码
三、算术表达式计算
- 题目
- 思路
- 参考代码
四、最喜爱的序列
- 题目
- 思路
- - 单调队列
- 参考代码
总结

一、重复计数

题目

在一个有限的正整数序列中，有些数会多次重复出现。请你统计每个数的出现次数，然后按数字在序列中第一次出现的位置顺序输出数及其次数。

输入格式：

第1行，1个整数N，表示整数的个数，(1≤N≤50000)。

第2行，N个正整数，每个整数x 都满足 1 ≤ x ≤2000000000。

输出格式：

若干行，每行两个用一个空格隔开的数，第一个是数列中出现的数，第二个是该数在序列中出现的次数。

输入样例：

12
8 2 8 2 2 11 1 1 8 1 13 13

输出样例：

8 3
2 3
11 1
1 3
13 2

题意：

统计序列中各元素出现的频率，并按照原来的相对顺序依次输出。

思路

解法一：

统计频率：
由于题目中有规定整数的个数，可以开辟一个对应大小的数组，每次读入数组的下标，将对应的元素＋1，用空间换时间。
按照原相对顺序输出：
我们可以采用一个容器来保存之前出现过的元素下标，最后再按照原顺序输出。由于先入容器的下标要先出容器，所以我们容器我们选择队列。

解法二：

先无脑读入所有数据，同时用队列记录元素值出现的相对顺序，之后对数据进行排序，最后输出该值的数量。
sort()排序：STL中自带的一种高效的标准排序算法，可以排序任意线性存储的容器。需要的三个参数为：①容器的起始迭代器；②容器的结束迭代器；③排序标准(二元谓词)，默认为less从小到大。
lower_bound()：在[begin,end)进行二分查找，返回大于或等于key的第一个元素位置的迭代器。如果所有元素都小于key，则返回end的位置迭代器。
upper_bound()：在[begin,end)进行二分查找，查找的关键字的上界，返回大于key的第一个元素位置的迭代器。
要注意的是，由于使用了二分查找，查找的对象应该都是有序的。

参考代码

解法一：

#include "iostream"
#include "queue"
using namespace std;queue<int> q;int Num;int a[500000];//全局变量，初始即全为0
int main()
{cin>>Num;int index;for(int i=0;i<Num;i++){cin>>index;if(!a[index])//若a[index]为零，说明index第一次出现，index入栈q.push(index);a[index]++;}while(q.size()!=1)//由于输出格式有要求，我们在队列剩余一个元素时停止输出{index=q.front();q.pop();cout<<index<<" "<<a[index]<<endl;}index=q.front();//最后一个元素输出时最后无多余回车q.pop();cout<<index<<" "<<a[index];
}

解法二：

#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "queue"
using namespace std;int a[50001];
int N;queue<int> q;int main()
{cin>>N;for(int i=1;i<=N;i++){cin>>a[i];if(find(a,a+i,a[i])==a+i)//检测是否a[i]之前是否存在,这个算法就是遍历，效率不高q.push(a[i]);}sort(a+1,a+N+1);int val;while(q.size()!=1)//由于输出格式有要求，在队中元素剩一个时停止输出{val=q.front();q.pop();cout<<val<<" "<<upper_bound(a+1,a+N+1,val)-lower_bound(a+1,a+N+1,val)<<endl;}val=q.front();q.pop();cout<<val<<" "<<upper_bound(a+1,a+N+1,val)-lower_bound(a+1,a+N+1,val);
}

二、报数游戏

题目

n个人围成一圈，从1开始依次编号，做报数游戏。现指定从第1个人开始报数，报数到第m个人时，该人出圈，然后从其下一个人重新开始报数，仍是报数到第m个人出圈，如此重复下去，直到所有人都出圈。总人数不足m时将循环报数。请输出所有人出圈的顺序。

输入格式：

一行，两个整数n和m。n表示游戏的人数，m表示报数出圈的数字，1≤n≤50000，1≤m≤100。

输出格式：

一行，n个用空格分隔的整数，表示所有人出圈的顺序。

输入样例：

输出样例：

2 4 1 5 3

题意：

经典的约瑟夫环问题。

思路

由于算法需要高效，因此采用链表结构。构建具有哨兵结点的循环链表，每次出圈便去掉一个结点，直到结点全部去除。

参考代码

#include "iostream"
using namespace std;struct cell
{int data;cell *next;
};int N;
int M;int main()
{cin>>N>>M;cell *head,*tmp,*tail;head=tail=new cell;//创建哨兵结点for(int i=0;i<N;i++)//构建单向链表{tmp=new cell;tmp->data=i+1;tail->next=tmp;tmp->next=NULL;tail=tmp;}tail->next=head->next;//单向链表成环tmp=head;//以下tmp为要删除(出圈)的结点，p为tmp的前驱结点cell *p=NULL;while(N!=1)//由于格式有要求，所以在N=1时停止输出{for(int i=0;i<M;i++)//寻找要删除的结点{p=tmp;tmp=tmp->next;}cout<<tmp->data<<" ";//输出删除的结点p->next=tmp->next;//删除结点//delete tmp;//这里怕多次调用delete超时，所以没写tmp=p;//将tmp重置到前一位N--;//人数-1}cout<<tmp->next->data<<endl;//输出最后的结点//注意tmp指向的是上一个删除节点的前驱，要删除的结点为上一个删除结点的后继，因此删除的是tmp->next->data
}

三、算术表达式计算

题目

算术表达式按中缀给出，以=号结束，包括+，-，*，/四种运算和(、)分隔符。运算数的范围是非负整数，没有正负符号，小于等于10⁹ 。

计算过程中,如果出现除数为0的情况,表达式的结果为"NaN" ; 如果中间结果超出32位有符号整型范围,仍按整型计算，不必特殊处理。输入保证表达式正确。

输入格式：

一行，包括1个算术表达式。算术表达式的长度小于等于1000。

输出格式：

一行，算术表达式的值。

输入样例：

(1+30)/3=

输出样例：

题意：

计算中缀表达式的值，除数为0时，需要特别处理。

思路

我们需要两个栈，一个为数字栈，用来储存遇到的数字，一个为符号栈，用来储存遇到的符号。
与最原始的一位数字计算不同，本题中的数字不仅仅为一位数字。当读到数字字符时，可以循环读入数字字符，并根据sum=sum*10+(now-‘0’)来算出该大于一位的数字。
解决大于一位的数字之后，接着要考虑如何计算表达式。有两种思路：①先将中缀表达式转换成后缀表达式，再计算后缀表达式（与后缀表达式相关内容可见本文最后）。②边读边计算。这里主要介绍第二种方法。
当读入数字时，直接压入数字栈即可。当遇到符号时，有四种情况：①遇到左括号，直接入栈(因为左括号表示当前位置后面的数字要先算出来，所以此处不需要任何操作)；②遇到±*/，不断取栈顶符号，如果栈顶符号的优先级大于或等于当前符号的优先级，则处理栈顶符号(因为若栈顶符号的优先级不小于当前符号，说明栈顶符号此时已经可以计算了)(具体过程为取数字栈的两个数据，检测符号，做相应的运算后，将结果再压入数字栈)；③遇到右括号，不断取栈顶符号，并处理，直到遇到左括号停止；④遇到结束符号(本题为等号)，不断处理栈顶符号即可(因为之前已经将能计算的全部计算，最后符号栈中符号的优先级关系一定符合正常运算)。
需要注意的问题
遇到四种运算符时，一定要循环处理前面遇到的优先级大于或等于其的运算符，不要只处理优先级大于其的运算符，否则有反例：计算1-2-3，由于采用栈，所以计算顺序为倒序，则程序的计算过程为1-2-3=1-(-1)=2显然是错的。
具体演示，计算4-2*3-(3-4-5)=的值(由于*为特殊字符，演示中用×代替)

4 -2×3-(3-4-5)= 4入数字栈(4)
4 - 2×3-(3-4-5)= 检测符号栈顶，-入符号栈(-)
4- 2 ×3-(3-4-5)= 2入数字栈(4 2)
4-2 × 3-(3-4-5)= 检测符号栈顶，-优先级小于×，×入符号栈(- ×)
4-2× 3 -(3-4-5)= 3入数字栈(4 2 3)
4-2×3 - (3-4-5)= 检测符号栈顶，×优先级大于-，处理乘号(2,3出数字栈，×出符号栈，2×3入数字栈)，此时数字栈(4 6)，符号栈(-)；再次检测符号栈顶，-优先级等于-，处理减号，此时数字栈(-2)，符号栈()；当前符号入符号栈(-)
4-2×3- ( 3-4-5)= 左括号直接入栈(- ()
4-2×3-( 3 -4-5)= 3入数字栈(-2 3)
4-2×3-(3 - 4-5)= 检测符号栈顶，(优先级小于-，当前符号入符号栈(- ( -)
4-2×3-(3- 4 -5)= 4入数字栈(-2 3 4)
4-2×3-(3-4 - 5)= 检测符号栈顶，-优先级等于-，处理减号，此时数字栈(-2 -1)，符号栈(- ()；当前符号入符号栈(- ( -)
4-2×3-(3-4- 5 )= 5入数字栈(-2 -1 5)
4-2×3-(3-4-5 )= 遇到右括号，开始循环处理符号，直到遇到左括号。第一次处理后，符号栈(- ( )，数字栈(-2 -6)；第二次处理遇到最括号，处理停止，此时符号栈(-)，数字栈(-2,-6)
遇到等号，处理所有符号，最终数字栈为(4)即为答案。

参考代码

#include "iostream"
#include "map"
#include "stack"
using namespace std;map<char,int> Pro;//用来储存符号优先级stack<int> Num;//数字栈
stack<char> Oper;//符号栈//用来记录大于1位整数的变量
int Flag;//某种标志
int s;//最终的整数值inline void Calculate(char oper)//根据符号进行计算，并将结果入栈
{int x,y;x=Num.top();Num.pop();y=Num.top();Num.pop();if(oper=='+')Num.push(y+x);else if(oper=='-')Num.push(y-x);else if(oper=='*')Num.push(y*x);else if(oper=='/'){if(!x)//除数为0{cout<<"NaN";exit(0);}Num.push(y/x);}
}int main()
{//建立符号间的优先级Pro.insert(make_pair('#',-1));Pro.insert(make_pair('(',0));Pro.insert(make_pair('+',1));Pro.insert(make_pair('-',1));Pro.insert(make_pair('*',2));Pro.insert(make_pair('/',2));Oper.push('#');//压栈符号char ch;cin>>ch;while(ch!='='){while(ch>='0'&&ch<='9')//处理大于1位整数{s=s*10+ch-'0';Flag=1;//标志此时检测到了数字cin>>ch;}if(Flag)//之前检测到了数字，压入数字，Flag和s归位{Num.push(s);Flag=0;s=0;}if(ch=='=')//如果数字之后是‘=’直接退出循环break;if(ch=='(')//左括号优先级最低，直接入栈Oper.push(ch);else if(ch==')')//检测到右括号，不断计算，直到遇到左括号{char oper=Oper.top();while(oper!='('){Oper.pop();Calculate(oper);oper=Oper.top();}Oper.pop();//弹出左括号}else if(ch=='+'||ch=='-'||ch=='*'||ch=='/')//检测到四种运算符处理前面所有优先级不大于ch的符号{char oper=Oper.top();while(Pro[oper]>=Pro[ch]){Oper.pop();Calculate(oper);oper=Oper.top();}Oper.push(ch);//压入当前符号}cin>>ch;}while(Oper.size()!=1)//处理剩余的符号，直到遇到压栈符号'#'{char oper=Oper.top();Oper.pop();Calculate(oper);}cout<<Num.top();
}

四、最喜爱的序列

题目

小唐这段时间在研究序列。拿来N个整数的序列，他给序列中的每个整数都赋予一个喜爱值。喜爱值也是整数，有正有负，越大表明越喜欢。他想知道，如何从序列中连续取最多m个数，他获得喜爱值最大。1≤N≤500000，1≤m≤N。

输入格式：

第一行是两个整数N，m。分别代表序列中数的个数以及能取的最多个数。

第二行用空格隔开的N个整数，第i个整数Li代表他对第i个数的喜爱值。│Li│≤1000。

输出格式：

一行，三个数，表示获得最大喜爱值，及第一个取最大喜爱值的区间。

输入样例：

5 2
1 4 5 2 3

输出样例：

9 2 3

题意：

输出至多m长度的区间内和的最大值。

思路

本题是一个典型的利用单调队列求解的题目。

单调队列

维护一个区间正确，且单调递增的队列，每次队首都是当前区间的最小值。

单调性的维护：当前元素与队尾元素比较，若队尾元素大于当前元素，队尾元素出队；重复处理，直到队空或队尾元素小于当前元素。
区间的维护：若队首元素的位置不在区间内(当前元素下标-队首元素下标＞区间长度)，则队首元素出队；重复处理。

参考代码

#include "iostream"
using namespace std;struct Cell
{int data;//记录元素值int num;//记录下标
};class MyDeque//自定义双端队列
{Cell a[500001];int Num;//队列中元素的个数，用来给Cell中的num赋值用int top;//队列头指针int rear;//队列尾指针
public:MyDeque():top(0),rear(0),Num(0){}void push(int x)//后端入队{a[rear].data=x;a[rear].num=++Num;rear++;}int peek_backdata(){ return a[rear-1].data; }//查看队尾元素值int peek_backnum(){ return a[rear-1].num; }//查看队尾下标void pop_back(){ rear--; }//后端出队int peek_frontdata(){ return a[top].data; }//查看队头元素值int peek_frontnum(){ return a[top].num; }//查看队头下标void pop_front(){ top++; }//前端出队int empty(){ return top==rear; }//判断队空
};int M,N;
int a[500001];//实际储存前n项的和，由于是全局变量，a[0]初始时为0
MyDeque d;int Max=-500000001;//最大值，开始时初始化为最小值
int top=1;//左区间
int rear=1;//右区间int main()
{cin>>N>>M;for(int i=1;i<=N;i++){cin>>a[i];//依次读入数据a[i]+=a[i-1];//记录前n项和，方便以后求某区间内的和}for(int i=0;i<N;i++){//队列非空，不断检测队尾元素，弹出大于当前元素的结点while(!d.empty()&&d.peek_backdata()>a[i])d.pop_back();d.push(a[i]);//当前元素入队//检测队头元素的下标，维护在要求的区间内while(d.peek_backnum()-d.peek_frontnum()>=M)d.pop_front();int tmp=a[i+1]-d.peek_frontdata();//计算当前区间内的元素之和if(Max<tmp)//判断是否更新最大值{Max=tmp;top=d.peek_frontnum();rear=d.peek_backnum();}}cout<<Max<<" "<<top<<" "<<rear;
}

总结

一种map的用法——处理优先级。此处map的用法类似于一种特殊的数组，数组的下标可以是任意类型的值，数组的值也可以是任意类型的值。

与第三题相关的题目——中缀表达式转后缀表达式
参考代码：

#include "iostream"
#include "vector"
#include "map"
#include "stack"
using namespace std;vector<string> ans;//储存后缀表达式
stack<char> Oper;//符号栈
map<char,int> pro;//处理优先级inline string String(char c)//char类型转string类型
{string s(1,c);return s;
}int main()
{//设置优先级pro.insert(make_pair('+',0));pro.insert(make_pair('-',0));pro.insert(make_pair('*',1));pro.insert(make_pair('/',1));pro.insert(make_pair('(',-1));char str[21];int i=0;cin>>str;int len=strlen(str);while(i<len){int Flag=0;char tmp=str[i];string s;while(tmp>='0'&&tmp<='9')//处理多位数字{s=s+tmp;i++;tmp=str[i];Flag=1;}if(Flag)//数字直接入栈ans.push_back(s);//按照运算顺序，符号依次入栈if(tmp=='(')Oper.push(tmp);else if(tmp==')'){char oper=Oper.top();while(oper!='('){Oper.pop();ans.push_back(String(oper));oper=Oper.top();}Oper.pop();}else{char oper;while(!Oper.empty()){oper=Oper.top();if(pro[oper]>=pro[tmp]){Oper.pop();ans.push_back(String(oper));}elsebreak;}Oper.push(tmp);}i++;}while(Oper.size()!=1)//将剩余的等号以外的符号入栈{char oper=Oper.top();Oper.pop();ans.push_back(String(oper));}for(vector<string>::iterator it=ans.begin();it!=ans.end();it++)cout<<*it<<" ";cout<<endl;return 0;
}

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