AcWing 883. 高斯消元解线性方程组（高斯消元模板）

先出裸的模板：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N = 110;
typedef double db;
db a[N][N];
const db eps = 1e-8;
int n;int gauss()
{int c,r;for(c=0,r=0;c<n;++c)/***************/{int t = r;for(int i=r+1;i<n;++i) if(fabs(a[i][c])>fabs(a[r][c])) t = i;/************/if(fabs(a[t][c])<eps) continue;for(int i=c;i<n+1;++i) swap(a[r][i],a[t][i]);/***************/for(int i=n;i>=c;--i) a[r][i]/=a[r][c];for(int i=r+1;i<n;++i){if(fabs(a[i][c])>eps){for(int j=n;j>=c;--j){a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];/******************/}}}++r;}if(r<n){for(int i=r;i<n;++i) if(fabs(a[i][n])>eps) return 1;/*****************/return 2;}/********************/for(int i=n-1;i>=0;--i){for(int j=i+1;j<n;++j){a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];}}return 0;
}int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;++i){for(int j=0;j<n+1;++j){cin>>a[i][j];}}int t = gauss();if(t==2){cout<<"Infinite group solutions"<<endl;}else if(t==1) cout<<"No solution"<<endl;else{for(int i=0;i<n;++i){if(fabs(a[i][n])<eps) a[i][n]=0;/******************/printf("%.2lf\n",a[i][n]);}}return 0;
}

输入一个包含 n 个方程 n 个未知数的线性方程组。

方程组中的系数为实数。

求解这个方程组。

下图为一个包含 m 个方程 n 个未知数的线性方程组示例：

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含 n+1 个实数，表示一个方程的 n 个系数以及等号右侧的常数。

输出格式
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个未知数的解，结果保留两位小数。

如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。

如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。

数据范围
1≤n≤100,
所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过 100。

输入样例：
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00

输出样例：
1.00
-2.00
3.00

初等行列变化:

1.某一行乘上一个非零数,矩阵不变
2.某一行乘上一个常数加到另一行上,矩阵不变
3.交换矩阵中某两行的元素,矩阵不变

思路:利用初等行列变化初等行列变化将矩阵变换成上三角形矩阵,再由后往前推出解

上三角形矩阵带来的结果有三种:无解,有唯一解,无穷多解

①无解:若在最后化成的上三角形矩阵中,正对角线中某个元素为0,但其所在行的最后一列元素不为0时,此时矩阵无解

②有无数解:若在最后化成的上三角形矩阵中,存在正对角线中某个元素为0,且其所在行的最后一列元素也为0时,此时矩阵有无穷组解

③有唯一解:若在最后化成的上三角形矩阵中,不存在正对角线中某个元素为0,此时矩阵有唯一解

算法步骤

1.枚举每一列c，找到当前列绝对值最大的一行

2.用初等行变换(2) 把绝对值最大的这一行换到最上面（注意：“最上面”指的是未确定阶梯型的行，而不是第一行）

3.用初等行变换(1) 将该行的第一个数变成 1 （其余所有的数字依次跟着变化）

4.用初等行变换(3) 将下面所有行的当前列的值变成 0

对于行的元素改变操作，总是按列倒序遍历
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef double db;
const int N = 110;
/*  C++浮点数存在误差，不能直接判断0，要判断是否小于一个很小的数，如果小于这个很小的数，就认为是0，如小于1e-6*/
const db eps = 1e-8;int n;
db a[N][N];int gauss()// 高斯消元，答案存于a[i][n]中，0 <= i < n
{int c,r;for(c = 0,r = 0;c < n; ++c)//上界是小于n，因为是枚举系数矩阵的列{int t = r;// ① 找到当前这一列中绝对值最大的一行for(int i = r; i < n; ++i){if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])) t = i;}// 如果这一列中最大值已经是0了，直接continue进入下一列if(fabs(a[t][c])<eps) continue;//剪枝// ② 将这行换到最上面for(int i = c; i <= n; ++i) swap(a[t][i],a[r][i]);// 将绝对值最大的行换到最顶端// ③ 将该行第一个数变成1// 将r行中c列后的每一个元素除上一个a[r][c](该行的第一个不为零的元素)for(int i = n; i >= c; --i) a[r][i]/=a[r][c];// 将当前行的首位变成1for(int i = r+1; i < n; ++i)// 用当前行将下面所有的列消成0{if(fabs(a[i][c])>eps)//剪枝{for(int j = n; j >= c; --j){// a[r][j]当前这行的第j列元素,a[i][c]是下面行的最前面的元素//目的是把第r+1行~n行的第c列元素都消除为0a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];//联想学线代怎么做的就行}}}++r;}if(r<n)// 无解和无穷多解的判断{// 如果出现了等号左右一个为0一个非0，则说明无解for(int i = r; i < n; ++i)if(fabs(a[i][n])>eps) return 2;// 无解// 否则说明有无穷多解return 1;// 有无穷多组解}// 回溯计算每个值xifor(int i = n-1; i >= 0; --i)for(int j = i+1; j < n; ++j)a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
//a[j][n]即代表之前循环已经求出来的未知数xj，a[i][j]代表当前枚举到的第i行中xj的系数，简单解个方程就行return 0;// 有唯一解
}int main()
{cin>>n;// 存储线性方程组的增广矩阵for(int i=0;i<n;++i){for(int j=0;j<n+1;++j){cin>>a[i][j];}}int t = gauss();// 执行高斯消元if(t==2) cout<<"No solution"<<endl;// 否则无解else if(t==1) cout<<"Infinite group solutions"<<endl;// 如果 t = 1,线性方程组存在无数解else{for(int i=0;i<n;++i){if(fabs(a[i][n])<eps) a[i][n] = 0;// 去掉输出 -0.00 的情况printf("%.2lf\n",a[i][n]);// %.2lf 保留两位小数}}return 0;
}

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