CodeForces - 1547F Array Stabilization (GCD version)(ST表+二分)

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题目大意：给出一个长度为 nnn 的数组 aaa，下标从 000 开始，每次操作分为两个步骤：

构建出数组 bbb，有 bi=gcd(ai,a(i+1)modn)b_i=gcd(a_i,a_{(i+1)\mod n})bi=gcd(ai,a(i+1)modn)
用数组 bbb 覆盖数组 aaa

问至少需要操作多少次，才能使得数组 aaa 的每个元素都相等

题目分析：

方便起见，下文中的下标 (i+1)modn(i+1)\mod n(i+1)modn 统一用 i+1i+1i+1 表示

需要分析出：

操作 000 次，ai=aia_i=a_iai=ai
操作 111 次，ai=gcd(ai,ai+1)a_i=gcd(a_i,a_{i+1})ai=gcd(ai,ai+1)
操作 222 次，ai=gcd(gcd(ai,ai+1),gcd(ai+1,ai+2))=gcd(ai,ai+1,ai+2)a_i=gcd(gcd(a_i,a_{i+1}),gcd(a_{i+1},a_{i+2}))=gcd(a_i,a_{i+1},a_{i+2})ai=gcd(gcd(ai,ai+1),gcd(ai+1,ai+2))=gcd(ai,ai+1,ai+2)
…
操作 kkk 次，ai=gcd(ai,ai+1,...,ai+k)a_i=gcd(a_i,a_{i+1},...,a_{i+k})ai=gcd(ai,ai+1,...,ai+k)

不难看出当 kkk 取 nnn 时，所有的数字都等于 nnn 个数的最大公约数，所以操作次数最多有 nnn 次，最少有 000 次

显然 kkk 具有单调性，所以考虑二分 kkk，现在问题是如何快速去求区间 gcdgcdgcd，这里给出两种方法，第一种就是最简单的线段树，但是如果严格来计算复杂度的话，线段树拆分区间一层 logloglog，gcdgcdgcd 一层 logloglog，所以总的时间复杂度是 nlog3nnlog^3nnlog3n 的，但好像是可以通过本题的？

又因为是静态查询，所以不妨直接打个 STSTST 表，这样可以优化掉一层 logloglog，复杂度是 nlog2nnlog^2nnlog2n 的，但 gcdgcdgcd 的那层 logloglog 好像很小，所以近似于 nlognnlognnlogn 的

循环取模的话，只需要将数组复制一遍就可以了

代码：

// Problem: F. Array Stabilization (GCD version)
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #731 (Div. 3)
// URL: https://codeforces.com/contest/1547/problem/F
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 4000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int a[N],st[N][20],n;
void ST_build()
{for(int i=1;i<=n<<1;i++)st[i][0]=a[i];for(int i=1;i<=20;i++)for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n<<1;j++)st[j][i]=__gcd(st[j][i-1],st[j+(1<<(i-1))][i-1]);
}
int ST_query(int l,int r)
{int k=log2(r-l+1);return __gcd(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
}
bool check(int len) {int mark=ST_query(1,1+len);for(int i=2;i<=n;i++) {if(mark!=ST_query(i,i+len)) {return false;}}return true;
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--) {read(n);for(int i=1;i<=n;i++) {read(a[i]);a[i+n]=a[i];}ST_build();int l=0,r=n,ans=-1;while(l<=r) {int mid=(l+r)>>1;if(check(mid)) {r=mid-1;ans=mid;} else {l=mid+1;}}cout<<ans<<endl;}return 0;
}

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