CSP 201312-4 有趣的数

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典型的数位DP~
打表易发现所有符合条件的数都是以 2 2 2 开头的，那么一共有以下几种状态：

只包含数字 2
只包含数字 2，0
只包含数字 2，3
只包含数字 2，0，3
只包含数字 2，0，1
包含四个数字

回答几个困惑，如果开头为 2，其他数字任选，那为什么不是 2 3 = 8 2^3=8 23=8 个状态呢？举例，为什么没有只包含 2，1的状态，因为 1 的位置必须出现在 0 后面，如果单纯只有 2，1 显然无法知道答案，所以出现 1 就必须出现 0，所以只有 6 个状态。我们用 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示长为 i i i 位的数在 j j j 状态下有多少个，状态转移方程推导如下：

d p [ i ] [ 0 ] ≡ 1 dp[i][0]\equiv 1 dp[i][0]≡1
包含 2，0 两个数字可以通过以下两种方法得到：
①前 i − 1 i-1 i−1 位都是 2 加上一个 0
②前 i − 1 i-1 i−1 位已经包含 0 和 2了，第 i i i 位加 0 或者加 2 都行
即： d p [ i ] [ 1 ] = d p [ i − 1 ] [ 0 ] + d p [ i − 1 ] [ 1 ] ∗ 2 dp[i][1]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]*2 dp[i][1]=dp[i−1][0]+dp[i−1][1]∗2
包含 2，3 两个数字可以通过以下两种方法得到：
①前 i − 1 i-1 i−1 位都是 2 加上一个 3
②前 i − 1 i-1 i−1 位已经包含 2 或 3了，第 i i i 位加 3（注意 2 必须在 3 前面，所以此时不能加 2）
即： d p [ i ] [ 2 ] = d p [ i − 1 ] [ 0 ] + d p [ i − 1 ] [ 2 ] dp[i][2]=dp[i-1][0]+dp[i-1][2] dp[i][2]=dp[i−1][0]+dp[i−1][2]
包含 2，0，3 三个数字可以通过以下三种方法得到：
①前 i − 1 i-1 i−1 位包含 2，0 了，第 i i i 位加 3 得到
②前 i − 1 i-1 i−1 位包含 2，3 了，第 i i i 位加 0 得到
③前 i − 1 i-1 i−1 位包含 2，0，3了，第 i i i 位加 0 或者 3 得到
包含 2，0，1 三个数字可以通过以下两种方法得到：
①前 i − 1 i-1 i−1 位包含 2，0 了，第 i i i 位加 1 得到
②前 i − 1 i-1 i−1 位包含 2，0，1 了，第 i i i 位加 1 或者 2 得到
包含四个数字可以通过以下两种方法得到：
①前 i − 1 i-1 i−1 位包含 2，0，3 了，第 i i i 位加 1
②前 i − 1 i-1 i−1 位包含 2，0，1 了，第 i i i 位加 3
③前 i − 1 i-1 i−1 位包含 2，0，1，3了，第 i i i 位加 1 或者加 3

最后 d p [ n ] [ 5 ] dp[n][5] dp[n][5] 就是答案，AC代码如下:

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll n, dp[1005][10];int main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {dp[i][0] = 1;dp[i][1] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] * 2) % mod;dp[i][2] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][2]) % mod;dp[i][3] = (dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3] * 2) % mod;dp[i][4] = (dp[i - 1][1] + dp[i - 1][4] * 2) % mod;dp[i][5] = (dp[i - 1][3] + dp[i - 1][4] + dp[i - 1][5] * 2) % mod;}cout << dp[n][5] << endl;return 0;
}

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