【CCFCSP- 201312-4】有趣的数（线性dp）

题干：

试题编号：	201312-4
试题名称：	有趣的数
时间限制：	1.0s
内存限制：	256.0MB
问题描述：	问题描述　　我们把一个数称为有趣的，当且仅当：　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。　　3. 最高位数字不为0。　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。输入格式　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。输出格式　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。样例输入 4 样例输出 3

解题报告：

首先2^4-1枚举出所有的可能状态，然后分别进行转移。dp[i][j]代表当前有i位，已经使用过的数字对应状态为j时的合法方案数。

注意对于这一思路有两种解决：一个是转移i-1到i这一位的时候是在后面添加数字，另一种是在前面添加数字。对于这一题而言，显然前者比较简单，因为通过题目可以分析得到：最后形成的这个数字的最高位一定是2所以从前往后增加位数的时候就会少讨论很多情况，16个状态不需要全部列举出来。但是如果从后往前的话，也是可以先看dp[i][15]需要哪些状态，再去对那些状态进行转移，但是有个问题就是最后得到的答案可能含有前导零，所以我们需要先处理到dp[n-1]，然后再自行累加到ans中，其实也是因为第一位必须是2这个条件。

注意状态的定义，比如是dp[i][3]，也就代表必须含有2和3，而，只含有2或者只含有3的方案数就不应该被统计在内了。也就是说这个状态不能由dp[i-1][2]再末尾添加一个2构成一个方案数，而是只能添加一个3，因为要保证必须含有2和3（所以这里不用乘2）。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
#define pb push_back
#define pm make_pair
using namespace std;
const int MAX = 2e5 + 5;
const ll mod = 1e9+7;
ll dp[1055][16];
int main()
{int n;cin>>n;dp[1][2] = 1;for(int i = 2; i<=n; i++) {dp[i][15] = (dp[i-1][11]+dp[i-1][14]+2*dp[i-1][15])%mod;dp[i][11] = (dp[i-1][10]+dp[i-1][3]+2*dp[i-1][11])%mod;dp[i][14] = (dp[i-1][12]+dp[i-1][10]+2*dp[i-1][14])%mod;dp[i][10] = (dp[i-1][2] + 2*dp[i-1][10])%mod;dp[i][12] = (dp[i-1][12]+2*dp[i-1][8]+dp[i-1][4])%mod;dp[i][3] = (dp[i-1][2]+dp[i-1][3])%mod;dp[i][2] = dp[i-1][2];}printf("%lld\n",dp[n][15]);return 0 ;}

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