反函数存在性定理

若函数 y=f(x),x∈Dfy = f(x), x \in D_f 是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数
x=f−1(y):Rf→Xx = f^{-1}(y): R_f \rightarrow X，并且 f−1(y)f^{-1}(y) 也是严格单调增加（减少）的。

证明：

不妨设 y=f(x),x∈Dfy = f(x), x \in D_f 严格单调增加，可知 ∀x1,x2∈Df,x1<x2⇒f(x1)<f(x2)\forall x_1, x_2 \in D_f, x_1 ，所以 ∀x1,x2∈Df,f(x1)=f(x2)⇒x1=x2\forall x_1, x_2 \in D_f, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2，所以存在反函数 f−1(y),y∈Rff^{-1}(y), y \in R_f。
∀y1,y2∈Df−1=Rf,\forall y_1, y_2 \in D_{f^{-1}} = R_f, 设 x1=f−1(y1),x_1 = f^{-1} (y_1) , x2=f−1(y2), x_2 = f^{-1} (y_2), 则 y1=y2⇒x1=x2,y_1 = y_2 \Rightarrow x_1 = x_2, 否则
(1) x1<x2⇒y1=f(x1)<f(x2)=y2,x_1
(2) x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2 x_1 > x_2 \Rightarrow y_1 = f(x_1) > f(x_2) = y_2，
因此 f−1(y)f^{-1}(y) 也是严格单调增加（减少）的。

反函数连续性定理

设函数 y=f(x)y = f(x) 在闭区间 [a,b][a, b] 上连续且严格单调增加，f(a)=α,f(b)=β,f(a) = \alpha, f(b) = \beta, 则它的反函数 x=f−1(y)x = f^{-1} (y) 在 [α,β][\alpha, \beta] 上连续且严格单调增加。

证明：

首先证明 Rf=f[a,b]=[α,β]R_f = f[a, b] = [\alpha, \beta]：
1.1 由于 f(x)f(x) 严格单调增加，因此 Rf⊆[f(a),f(b)]=[α,β]R_f \subseteq [f(a), f(b)] = [\alpha, \beta]。
1.2 显然 α,β∈f([a,b])\alpha, \beta \in f([a, b])。 ∀γ∈(α,β),\forall \gamma \in (\alpha, \beta), 令 S={x|x∈[a,b],f(x)<γ}, S = \{ x | x \in [a, b], f(x) 则集合 SS 非空有上界，由确界存在定理， SS 必有上确界，记 x0=supS,x_0 = \operatorname {sup} S, 则 x0∈[a,b]x_0 \in[a, b]。由于 f(x)f(x) 连续，因此 ∃a1,b1∈(α,β),f(a1)<γ,f(b1)>γ\exists a_1, b_1 \in (\alpha, \beta), f(a_1) \gamma，又f(x)f(x) 严格单调增加，因此 a1<b1,∀x∈[a,a1],f(x)<γ,∀x∈[b1,b],f(x)>γ,a_1 \gamma, 所以 x0∈[a1,b1]⊆(a,b)x_0 \in [a_1, b_1] \subseteq (a, b)。
(1) 若 f(x0)<γ,f(x_0) 则由 f(x)f(x) 连续得 ∃x′∈[a,b],x′>x0,f(x′)<γ\exists x' \in [a, b], x' > x_0, f(x') ，因此 x′∈S⇒x′≤x0,x' \in S \Rightarrow x' \le x_0, 矛盾；
(2) 若 f(x0)>γ,f(x_0) > \gamma, 则由 f(x)f(x) 连续得 ∃x′∈[a,b],x′<x0,f(x′)>γ，\exists x' \in [a, b], x' \gamma，因此 ∀x′′∈[x′,x0],f(x′′)>γ\forall x'' \in [x', x_0], f(x'') > \gamma, 与 x0x_0 是 SS 的上确界矛盾。
由 (1), (2) 得， f(x0)=γf(x_0) = \gamma。所以， [α,β]⊆Rf[\alpha, \beta] \subseteq R_f。
因此， Rf=f[a,b]=[α,β]R_f = f[a, b] = [\alpha, \beta]。
根据反函数存在定理，必存在 ff 的反函数 x=f−1(y):[α,β]→[a,b],x = f^{-1} (y): [\alpha, \beta] \rightarrow [a, b], 且 f−1(y) f^{-1} (y) 也是严格单调增加函数。
2.1 ∀y0∈(α,β),\forall y_0 \in (\alpha, \beta), 令 x0=f−1(y0), x_0 = f^{-1} (y_0), 则 f(x0)=y0∈(α,β)⇒x0∈(a,b)，f(x_0) = y_0 \in (\alpha, \beta) \Rightarrow x_0 \in (a, b)，
∀ε>0,ε≤min(x0−a,b−x0),\forall \varepsilon > 0, \varepsilon \le \operatorname {min} (x_0 - a, b - x_0), 令 y1=f(x0−ε),y2=f(x0+ε), y_1 = f (x_0 - \varepsilon), y_2 = f (x_0 + \varepsilon), 则 y1<y0<y2, y_1 令 δ=min(y0−y1,y2−y0) \delta = \operatorname {min} (y_0 - y_1, y_2 - y_0) 则
∀y∈O(y0,δ)⊆(f−y%� k�:��]�l� k�:��A absolute; top: -2.237em; left: 0.536em;">2),x0−ε=f−1(y1)<f−1(y)<f−1(y2)=x0+ε\forall y \in O(y_0, \delta) \subseteq (y_1, y_2), x_0 - \varepsilon = f^{-1} (y_1)
⇒|f−1(y)−f−1(y0)|=|f−1(y)−x0|<ε, \Rightarrow | f^{-1} (y) - f^{-1} (y_0) | = | f^{-1} (y) - x_0 | 因此 f−1(y)f^{-1} (y) 在点 y0y_0 上连续。
2.2 同样可得 f−1(y)f^{-1} (y) 在点 α\alpha 上左连续，在点 β\beta 上右连续。

综上， f−1(y)f^{-1} (y) 在闭区间 [α,β][\alpha, \beta] 上连续。

反函数求导定理

若函数 y=f(x)y = f(x) 在 (a,b)(a, b) 上连续，严格单调，可导并且 f′(x)≠0,f'(x) \neq 0, 记 α=min(f(a+),f(b−)),β=max(f(a+),f(b−))\alpha = \operatorname {min} (f (a +), f (b - )), \beta = \operatorname {max} (f (a +), f (b - ))，则它的反函数 x=f−1(y)x = f ^{-1} (y) 在 (α,β)(\alpha, \beta) 上可导，且有

[f−1(y)]′=0)=f′−1

[f ^{-1} (y)]' = \frac {1} {f'(x)}

证明

因为函数 y=f(x)y = f(x) 在 (a,b)(a, b) 上连续，严格单调，由反函数存在性定理，它的反函数 x=f−1(y):(α,β)→(a,b)x = f ^{-1} (y): (\alpha, \beta) \rightarrow (a, b) 存在，连续且严格单调。
因此， ∀y0∈(α,β),\forall y_0 \in (\alpha, \beta), 令 x0=f−1(y0), x_0 = f ^{-1} (y_0) , 则 limy→y0f−1(y)=f−1(y0)=x0, \lim \limits_{y \to y_0 } f ^{-1} (y) = f ^{-1} (y_0) = x_0, 且 ∀y∈(α,β),y≠y0⇒f−1(y)≠f−1(y0),\forall y \in (\alpha, \beta), y \neq y_0 \Rightarrow f ^{-1} (y) \neq f ^{-1} (y_0),
由于 f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0,f'(x_0) = \lim \limits_{x \to x_0 } \frac { f(x) - f (x_0) } { x - x_0 },
由复合函数的极限的性质可得 limy→y0f(f−1(y))−f(f−1(y0))f−1(y)−f−1(y0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0) \lim \limits_{y \to y_0 } \frac { f(f ^{-1} (y)) - f (f ^{-1} (y_0)) } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } = \lim \limits_{x \to x_0 } \frac { f(x) - f (x_0) } { x - x_0 } = f'(x_0)
因此 limy→y0y−y0f−1(y)−f−1(y0)=limy→y0f(f−1(y))−f(f−1(y0))f−1(y)−f−1(y0)=f′(x0)≠0,\lim \limits_{y \to y_0 } \frac { y - y_0 } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } = \lim \limits_{y \to y_0 } \frac { f(f ^{-1} (y)) - f (f ^{-1} (y_0)) } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } = f'(x_0) \neq 0,
因此 [f−1(y)]′=limy→y0f−1(y)−f−1(y0)y−y0=1limy→y0y−y0f−1(y)−f−1(y0)=1f′(x0)[f ^{-1} (y)]' = \lim \limits_{y \to y_0 } \frac { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) } { y - y_0 } = \frac{1} {\lim \limits_{y \to y_0 } \frac { y - y_0 } { f ^{-1} (y) - f ^{-1} (y_0) }}= \frac {1}{f' (x_0)}

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