0、简介

一、四元数的定义

二、欧拉角到四元数的转换

2.1 公式：

2.2 code:

三、四元数到欧拉角的转换

3.1 公式

3.2 code:

3.3 四元素到旋转矩阵转换

四. 奇点

五. 矢量旋转

证明：

六 . 其他参考

七 python 转换

7.1 四元素欧拉角互相转换

7.2 旋转矩阵<->欧拉角 py

八 Eigen transform

8.1 欧拉角到四元素

四元素得到yaw

四元素到旋转向量

旋转轴向量到四元素

Eigen 转换函数

九旋转矩阵与欧拉角

0、简介

四元数与欧拉角之间的转换

百度百科四元素

在3D图形学中，最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角，比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点。

本文主要归纳了两种表达方式的转换，计算公式采用3D笛卡尔坐标系：

定义 $\psi$ ， $\theta$ ， $\phi$ 分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度，如果用Tait-Bryan angle表示，分别为Yaw、Pitch、Roll。

一、四元数的定义

$q=[w,x,y,z]^T$

$\left | q \right |^2 = w^2+x^2+y^2+z^2 =1$

通过旋转轴和绕该轴旋转的角度可以构造一个四元数：

$w=cos(\alpha/2)$

$x=sin(\alpha/2)cos(\beta_x)$

$y=sin(\alpha/2)cos(\beta_y)$

$z=sin(\alpha/2)cos(\beta_z)$

其中α是一个简单的旋转角（旋转角的弧度值），而 $cos(\beta _x),cos(\beta _y),cos(\beta _z)$ 是定位旋转轴的“方向余弦”（欧拉旋转定理）。

利用欧拉角也可以实现一个物体在空间的旋转，它按照既定的顺序，如依次绕z,y,x分别旋转一个固定角度，使用yaw，pitch，roll分别表示物体绕,x,y,z的旋转角度，记为 $\psi$ ， $\theta$ ， $\phi$ ，可以利用三个四元数依次表示这三次旋转，即：

$Q_1=cos(\psi /2 ) +sin(\psi /2) k$

$Q_2=cos(\theta /2 ) +sin(\theta /2) j$

$Q_3=cos(\phi /2 ) +sin(\phi /2) i$

二、欧拉角到四元数的转换

2.1 公式：

2.2 code:

struct Quaternion
{double w, x, y, z;
};Quaternion ToQuaternion(double yaw, double pitch, double roll) // yaw (Z), pitch (Y), roll (X)
{// Abbreviations for the various angular functionsdouble cy = cos(yaw * 0.5);double sy = sin(yaw * 0.5);double cp = cos(pitch * 0.5);double sp = sin(pitch * 0.5);double cr = cos(roll * 0.5);double sr = sin(roll * 0.5);Quaternion q;q.w = cy * cp * cr + sy * sp * sr;q.x = cy * cp * sr - sy * sp * cr;q.y = sy * cp * sr + cy * sp * cr;q.z = sy * cp * cr - cy * sp * sr;return q;
}

三、四元数到欧拉角的转换

3.1 公式

可以从四元数通过以下关系式获得欧拉角：

arctan和arcsin的结果是 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ ，这并不能覆盖所有朝向(对于 $\theta$ 角 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 的取值范围已经满足)，因此需要用atan2来代替arctan。

3.2 code:

#define _USE_MATH_DEFINES
#include <cmath>struct Quaternion {double w, x, y, z;
};struct EulerAngles {double roll, pitch, yaw;
};EulerAngles ToEulerAngles(Quaternion q) {EulerAngles angles;// roll (x-axis rotation)double sinr_cosp = 2 * (q.w * q.x + q.y * q.z);double cosr_cosp = 1 - 2 * (q.x * q.x + q.y * q.y);angles.roll = std::atan2(sinr_cosp, cosr_cosp);// pitch (y-axis rotation)double sinp = 2 * (q.w * q.y - q.z * q.x);if (std::abs(sinp) >= 1)angles.pitch = std::copysign(M_PI / 2, sinp); // use 90 degrees if out of rangeelseangles.pitch = std::asin(sinp);// yaw (z-axis rotation)double siny_cosp = 2 * (q.w * q.z + q.x * q.y);double cosy_cosp = 1 - 2 * (q.y * q.y + q.z * q.z);angles.yaw = std::atan2(siny_cosp, cosy_cosp);return angles;
}

3.3 四元素到旋转矩阵转换

或等效地，通过齐次表达式：

四. 奇点

当螺距接近±90°（南北极）时，必须意识到欧拉角参数化的奇异性。这些情况必须特别处理。这种情况的通用名称是万向节锁。

处理奇异点的代码可从以下网站获取：www.euclideanspace.com

五. 矢量旋转

定义四元素的尺度 $q_0$ 和向量 $\overrightarrow{q}$ ，有 ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{0},{\vec {q}})=q_{0}+iq_{1}+jq_{2}+kq_{3}}.$

请注意，通过定义欧拉旋转的四元数 $q$ 来旋转三维矢量 ${\vec{v}}$ 的规范方法是通过公式：

$\mathbf {p} ^{\,\prime }=\mathbf {qpq} ^{\ast }$

这儿： $\mathbf {p} =(0,{\vec {v}})=0+iv_{1}+jv_{2}+kv_{3}$ 是包含嵌入向量 ${\vec{v}}$ 的四元数， $\mathbf {q} ^{\ast }=(q_{0},-{\vec {q}})} {\displaystyle \mathbf {q} ^{\ast }=(q_{0},-{\vec {q}})$ 是共轭四元数，

在计算实现中，这需要两个四元数乘法。一种替代方法是应用一对关系：

${\vec {t}}=2{\vec {q}}\times {\vec {v}}$

${\vec {v}}^{\,\prime }={\vec {v}}+q_{0}{\vec {t}}+{\vec {q}}\times {\vec {t}}$

$\times$ ：表示三维矢量叉积。这涉及较少的乘法，因此计算速度更快。数值测试表明，对于矢量旋转，后一种方法可能比原始方法快30％[4]。

证明：

标量和矢量部分的四元数乘法的一般规则由下式给出：

${\begin{aligned}\mathbf {q_{1}q_{2}} &=(r_{1},{\vec {v}}_{1})(r_{2},{\vec {v}}_{2})\\&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})\\\end{aligned}}$

利用这种关系 $\mathbf {p} =(0,{\vec {v}})$ 可以找到：

${\begin{aligned}\mathbf {pq^{\ast }} &=(0,{\vec {v}})(q_{0},-{\vec {q}})\\&=({\vec {v}}\cdot {\vec {q}},q_{0}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {q}})\\\end{aligned}}$

并替换为三乘积：

${\begin{aligned}\mathbf {qpq^{\ast }} &=(q_{0},{\vec {q}})({\vec {v}}\cdot {\vec {q}},q_{0}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {q}})\\&=(0,q_{0}^{2}{\vec {v}}+q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {q}}){\vec {q}}+q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+{\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}}))\\\end{aligned}}$

$q_{0}^{2}=1-{\vec {q}}\cdot {\vec {q}}} {\displaystyle q_{0}^{2}=1-{\vec {q}}\cdot {\vec {q}}$

${\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}})=({\vec {q}}\cdot {\vec {v}}){\vec {q}}-({\vec {q}}\cdot {\vec {q}}){\vec {v}}$

可得到：

${\begin{aligned}\mathbf {p} ^{\prime }&=\mathbf {qpq^{\ast }} =(0,{\vec {v}}+2q_{0}{\vec {q}}\times {\vec {v}}+2{\vec {q}}\times ({\vec {q}}\times {\vec {v}}))\\\end{aligned}}$

在定义 ${\vec {t}} = 2 {\vec {q}} \times {\vec {v}}$ 时，可以按标量和矢量部分来表示：

$(0,{\vec {v}}^{\,\prime })=(0,{\vec {v}}+q_{0}{\vec {t}}+{\vec {q}}\times {\vec {t}}).$

六 . 其他参考

Rotation operator (vector space)
Quaternions and spatial rotation
Euler Angles
Rotation matrix
Rotation formalisms in three dimensions

七 python 转换

7.1 四元素欧拉角互相转换

def EulerAndQuaternionTransform( intput_data):"""四元素与欧拉角互换"""data_len = len(intput_data)angle_is_not_rad = Falseif data_len == 3:r = 0p = 0y = 0if angle_is_not_rad: # 180 ->pir = math.radians(intput_data[0]) p = math.radians(intput_data[1])y = math.radians(intput_data[2])else:r = intput_data[0] p = intput_data[1]y = intput_data[2]sinp = math.sin(p/2)siny = math.sin(y/2)sinr = math.sin(r/2)cosp = math.cos(p/2)cosy = math.cos(y/2)cosr = math.cos(r/2)w = cosr*cosp*cosy + sinr*sinp*sinyx = sinr*cosp*cosy - cosr*sinp*sinyy = cosr*sinp*cosy + sinr*cosp*sinyz = cosr*cosp*siny - sinr*sinp*cosyreturn [w,x,y,z]elif data_len == 4:w = intput_data[0] x = intput_data[1]y = intput_data[2]z = intput_data[3]r = math.atan2(2 * (w * x + y * z), 1 - 2 * (x * x + y * y))p = math.asin(2 * (w * y - z * x))y = math.atan2(2 * (w * z + x * y), 1 - 2 * (y * y + z * z))if angle_is_not_rad : # pi -> 180r = math.degrees(r)p = math.degrees(p)y = math.degrees(y)return [r,p,y]

7.2 旋转矩阵<->欧拉角 py

import numpy as np
import math
import randomdef isRotationMatrix(R) :Rt = np.transpose(R)shouldBeIdentity = np.dot(Rt, R)I = np.identity(3, dtype = R.dtype)n = np.linalg.norm(I - shouldBeIdentity)return n < 1e-6def rotationMatrixToEulerAngles(R) :assert(isRotationMatrix(R))sy = math.sqrt(R[0,0] * R[0,0] + R[1,0] * R[1,0])singular = sy < 1e-6if not singular :x = math.atan2(R[2,1] , R[2,2])y = math.atan2(-R[2,0], sy)z = math.atan2(R[1,0], R[0,0])else :x = math.atan2(-R[1,2], R[1,1])y = math.atan2(-R[2,0], sy)z = 0return np.array([x, y, z])def eulerAnglesToRotationMatrix(theta) :R_x = np.array([[1,     0,         0          ],[0,     math.cos(theta[0]), -math.sin(theta[0]) ],[0,     math.sin(theta[0]), math.cos(theta[0]) ]])R_y = np.array([[math.cos(theta[1]),  0,   math.sin(theta[1]) ],[0,           1,   0          ],[-math.sin(theta[1]),  0,   math.cos(theta[1]) ]])R_z = np.array([[math.cos(theta[2]),  -math.sin(theta[2]),  0],[math.sin(theta[2]),  math.cos(theta[2]),   0],[0,           0,           1]])R = np.dot(R_z, np.dot( R_y, R_x ))return R

c++:

        static Eigen::Vector3d R2ypr(const Eigen::Matrix3d &R){Eigen::Vector3d n = R.col(0);Eigen::Vector3d o = R.col(1);Eigen::Vector3d a = R.col(2);Eigen::Vector3d ypr(3);double y = atan2(n(1), n(0));double p = atan2(-n(2), n(0) * cos(y) + n(1) * sin(y));double r = atan2(a(0) * sin(y) - a(1) * cos(y), -o(0) * sin(y) + o(1) * cos(y));ypr(0) = y;ypr(1) = p;ypr(2) = r;return ypr / M_PI * 180.0;}template <typename Derived>static Eigen::Matrix<typename Derived::Scalar, 3, 3> ypr2R(const Eigen::MatrixBase<Derived> &ypr){typedef typename Derived::Scalar Scalar_t;Scalar_t y = ypr(0) / 180.0 * M_PI;Scalar_t p = ypr(1) / 180.0 * M_PI;Scalar_t r = ypr(2) / 180.0 * M_PI;Eigen::Matrix<Scalar_t, 3, 3> Rz;Rz << cos(y), -sin(y), 0,sin(y), cos(y), 0,0, 0, 1;Eigen::Matrix<Scalar_t, 3, 3> Ry;Ry << cos(p), 0., sin(p),0., 1., 0.,-sin(p), 0., cos(p);Eigen::Matrix<Scalar_t, 3, 3> Rx;Rx << 1., 0., 0.,0., cos(r), -sin(r),0., sin(r), cos(r);return Rz * Ry * Rx;}

八 Eigen transform

8.1 欧拉角到四元素

      Eigen::Quaterniond RollPitchYaw(const double roll, const double pitch,const double yaw) {const Eigen::AngleAxisd roll_angle(roll, Eigen::Vector3d::UnitX());const Eigen::AngleAxisd pitch_angle(pitch, Eigen::Vector3d::UnitY());const Eigen::AngleAxisd yaw_angle(yaw, Eigen::Vector3d::UnitZ());return yaw_angle * pitch_angle * roll_angle;}

四元素得到yaw

    template <typename T>T GetYaw(const Eigen::Quaternion<T>& rotation) {const Eigen::Matrix<T, 3, 1> direction =rotation * Eigen::Matrix<T, 3, 1>::UnitX();return atan2(direction.y(), direction.x());}

四元素到旋转向量

    template <typename T>Eigen::Matrix<T, 3, 1> RotationQuaternionToAngleAxisVector(const Eigen::Quaternion<T>& quaternion) {Eigen::Quaternion<T> normalized_quaternion = quaternion.normalized();// We choose the quaternion with positive 'w', i.e., the one with a smaller// angle that represents this orientation.if (normalized_quaternion.w() < 0.) {// Multiply by -1. http://eigen.tuxfamily.org/bz/show_bug.cgi?id=560normalized_quaternion.w() = -1. * normalized_quaternion.w();normalized_quaternion.x() = -1. * normalized_quaternion.x();normalized_quaternion.y() = -1. * normalized_quaternion.y();normalized_quaternion.z() = -1. * normalized_quaternion.z();}// We convert the normalized_quaternion into a vector along the rotation axis// with length of the rotation angle.const T angle =2. * atan2(normalized_quaternion.vec().norm(), normalized_quaternion.w());constexpr double kCutoffAngle = 1e-7;  // We linearize below this angle.const T scale = angle < kCutoffAngle ? T(2.) : angle / sin(angle / 2.);return Eigen::Matrix<T, 3, 1>(scale * normalized_quaternion.x(),scale * normalized_quaternion.y(),scale * normalized_quaternion.z());}

旋转轴向量到四元素

    template <typename T>Eigen::Quaternion<T> AngleAxisVectorToRotationQuaternion(const Eigen::Matrix<T, 3, 1>& angle_axis) {T scale = T(0.5);T w = T(1.);constexpr double kCutoffAngle = 1e-8;  // We linearize below this angle.if (angle_axis.squaredNorm() > kCutoffAngle) {const T norm = angle_axis.norm();scale = sin(norm / 2.) / norm;w = cos(norm / 2.);}const Eigen::Matrix<T, 3, 1> quaternion_xyz = scale * angle_axis;return Eigen::Quaternion<T>(w, quaternion_xyz.x(), quaternion_xyz.y(),quaternion_xyz.z());}

Eigen 转换函数

九旋转矩阵与欧拉角

按旋转坐标系分内旋(旋转的轴是动态的) 和外旋(旋转轴是固定的，是不会动的)。

绕定轴 XYZ旋转（RPY）（外旋）

假设两个坐标系A和B，二者初始时完全重合。过程如下：B绕A的X轴旋转γ角，再绕A的Y轴旋转β角，最后绕A的Z轴旋转α角，完成旋转。整个过程，A不动B动。旋转矩阵的计算方法如下：R = Rz * Ry *Rx，乘法顺序：从右向左，依次旋转X轴Y轴Z轴。

绕动轴ZYX旋转（Euler角）（内旋）

过程如下：B绕B的Z轴旋转α角，再绕B的Y轴旋转β角，最后绕B的X轴旋转γ角，完成旋转。整个过程，A不动B动。旋转矩阵的计算方法如下： $R=R_Z*R_Y*R_X$ 。乘法顺序：从左向右

欧拉角的表示方式比较直观，但是有几个缺点：

(1) 欧拉角的表示方式不唯一。给定某个起始朝向和目标朝向，即使给定yaw、pitch、roll的顺序，也可以通过不同的yaw/pitch/roll的角度组合来表示所需的旋转。比如，同样的yaw-pitch-roll顺序，(0,90,0)和(90,90,90)会将刚体转到相同的位置。这其实主要是由于万向锁(Gimbal Lock)引起的 (2) 欧拉角的插值比较难。 (3) 计算旋转变换时，一般需要转换成旋转矩阵，这时候需要计算很多sin, cos，计算量较大。

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四元数与欧拉角（Yaw、Pitch、Roll）的转换

0、简介

一、四元数的定义

二、欧拉角到四元数的转换

2.1 公式：

2.2 code:

三、四元数到欧拉角的转换

3.1 公式

3.2 code:

3.3 四元素到旋转矩阵转换

四. 奇点

五. 矢量旋转

证明：

六 . 其他参考

七 python 转换

7.1 四元素欧拉角互相转换

7.2 旋转矩阵<->欧拉角 py

八 Eigen transform

8.1 欧拉角到四元素

四元素得到yaw

四元素到旋转向量

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