控制系统状态空间表达式的解(1)——求解线性定常系统零输入响应

将这句话拆分开：
控制系统 状态空间表达式 的解

就是求解系统：
x˙=Ax+Bux(0)=x0y=Cx+Du\begin{aligned} \dot{x}&=Ax+Bu \qquad x(0)=x_{0}\\ y&=Cx+Du \end{aligned} x˙y=Ax+Bux(0)=x0=Cx+Du
在给定初始条件x(0)=x0x(0)=x_{0}x(0)=x0和控制输入u(t)u(t)u(t)共同作用下

状态向量和输出向量的随时间变化的规律x(t)x(t)x(t)和y(t)y(t)y(t)

1.线性系统一定满足叠加原理：

系统在初始状态x0x_0x0和控制输入u(t)u(t)u(t)共同作用下的运动状态x(t)x(t)x(t)，可以分解为由初始状态x0x_0x0和控制输入u(t)u(t)u(t)分别单独作用产生的运动状态x0u(t)x_{0u}(t)x0u(t)和x0x(t)x_{0x}(t)x0x(t)的叠加，即x(t)=x0u(t)+x0x(t){\color{00a100}x(t)}={\color{9100c9}x_{0u}(t)}+{\color{008b8b}x_{0x}(t)}x(t)=x0u(t)+x0x(t)

2.零输入响应

定义为只有初始状态作用即x0≠0x_{0} \neq 0x0=0，而无输入作用，即u≡0u\equiv 0u≡0是系统的状态响应x0u(t)x_{0u}(t)x0u(t).

零输入响应x0u(t)x_{0u}(t)x0u(t)就是自治方程:
x˙=Ax,x(0)=x0\dot{x}=Ax, x(0)=x_{0}x˙=Ax,x(0)=x0
在非平衡初始状态x0x_{0}x0作用下的自由解

3.零状态响应

定义为只有输入作用即u≢0u \not\equiv 0u≡0，而无初始状态作用即x0=0x_{0}=0x0=0时系统的状态响应x0x(t).x_{0x}(t).x0x(t).

零状态响应x0x(t)x_{0x}(t)x0x(t)就是方程
x˙=Ax+Bux(0)=0\dot{x}=Ax+Bu \qquad x(0)=0 x˙=Ax+Bux(0)=0
在平衡初始状态时，输入uuu激励作用下的强迫运动

4.零输入响应计算

线性定常系统其次状态方程:
x˙=Ax,x(0)=x0,t≥0(1)\dot{x}=Ax, x(0)=x_{0}, t \ge 0 \qquad(1)x˙=Ax,x(0)=x0,t≥0(1)
的解，即系统的零输入响应x0ux_{0u}x0u为：
x0u=eAxx0,t≥0x_{0u}=e^{Ax}x_{0},\qquad t\ge 0x0u=eAxx0,t≥0
式中，eAte^{At}eAt为系统矩阵AAA的矩阵指数函数：
eAt=defI+At+12!A2t2+...=∑k=0∞1k!Aktke^{At}\overset{def}{=}I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+...=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^{k}t{^k} eAt=defI+At+2!1A2t2+...=k=0∑∞k!1Aktk

证明：

令方程(1)(1)(1)的解为系数向量待定的一个幂级数，即：
x0u(t)=b0+b1t+b2t2+...=∑k=0∞bktk(2)x_{0u}(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+...=\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t{^k}\qquad (2) x0u(t)=b0+b1t+b2t2+...=k=0∑∞bktk(2)
其必满足方程(1)(1)(1)，将上式代入方程(1)(1)(1)，可得：
b1+2b2t+3b3t2+...=A(b0+b1t+b2t2+...)b_{1}+2b_{2}t^{}+3b_{3}t^{2}+...=A(b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+...) b1+2b2t+3b3t2+...=A(b0+b1t+b2t2+...)
比较可得：
b1=Ab0b2=12Ab1=12A2b0...bk=1k!Akb0...\begin{aligned} b_{1}&=Ab_{0}\\ b_{2}&=\frac{1}{2}Ab_{1}=\frac{1}{2}A^{2}b_{0} \\ ...\\ b_{k}&=\frac{1}{k!}A^{k}b_{0}\\ ... \end{aligned} b1b2...bk...=Ab0=21Ab1=21A2b0=k!1Akb0将求得的待定系数，代入式(2)(2)(2)可得：
x0u(t)=(I+At+12!A2t2+13!A3t3...)b0x_{0u}(t)=(I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\frac{1}{3!}A^{3}t^{3}...)b_{0} x0u(t)=(I+At+2!1A2t2+3!1A3t3...)b0
有初始条件x0u(t)=x0x_{0u}(t)=x_{0}x0u(t)=x0可得b0=x0b_{0}=x_{0}b0=x0，故：
x0u(t)=(I+At+12!A2t2+13!A3t3...)x0=eAtx0x_{0u}(t)=(I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\frac{1}{3!}A^{3}t^{3}...)x_{0}=e^{At}x_{0} x0u(t)=(I+At+2!1A2t2+3!1A3t3...)x0=eAtx0证毕

5.线性定常系统零输入响应的几点说明

如果ttt取某个固定值，零输入响应就是状态空间中由初始状态x0x_{0}x0经线性变换阵eAte^{At}eAt所导出的一个变换点。系统的自由运动就是由初始状态x0x_{0}x0出发，并由各个时刻的变换点x(t)x(t)x(t)所组成的一条轨线；
零输入响应轨线的形态有矩阵指数函数唯一的确定；
线性定常系统渐进稳定的充要条件是：lim⁡x→+∞eAt=0\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{At}=0x→+∞limeAt=0
系统渐进稳定的条件是：当x→+∞x\rightarrow +\inftyx→+∞，自由运动的轨线将趋于系统的平衡状态xe=0x_{e}=0xe=0，即状态空间的原点
求解零输入响应的核心是计算矩阵指数函数eAte^{At}eAt
当x(t0)=x0,t0≠0x(t_{0})=x_{0}, t_{0}\neq0x(t0)=x0,t0=0时，零输入响应表达式更一般的形式:x0u=eA(t−t0)x0t≥t0x_{0u}=e^{A(t-t_{0})}x_{0}\quad t\ge t_{0}x0u=eA(t−t0)x0t≥t0