写在前面：博主是一位普普通通的19届双非软工在读生，平时最大的爱好就是听听歌，逛逛B站。博主很喜欢的一句话花开堪折直须折，莫待无花空折枝：博主的理解是头一次为人，就应该做自己想做的事，做自己不后悔的事，做自己以后不会留有遗憾的事，做自己觉得有意义的事，不浪费这大好的青春年华。博主写博客目的是记录所学到的知识并方便自己复习，在记录知识的同时获得部分浏览量，得到更多人的认可，满足小小的成就感，同时在写博客的途中结交更多志同道合的朋友，让自己在技术的路上并不孤单。

1.全序和偏序

拓扑排序指的是将有向无环图(又称“DAG”图)中的顶点按照图中指定的先后顺序进行排序。

例如，上图 中的两个图都是有向无环图，都可以使用拓扑排序对图中的顶点进行排序，两个图形的区别是：左图中的 V2 和 V3之间没有明确的前后顺序；而右图中任意两个顶点之间都有前后顺序。

所以，左图中顶点之间的关系被称为“偏序”关系；右图中顶点之间的关系被称为”全序“关系。全序是偏序的一种特殊情况。对于任意一个有向无环图来说，通过拓扑排序得到的序列首先一定是偏序，如果任意两个顶点都具有前后顺序，那么此序列是全序。

2.拓扑排序的方法

对有向无环图进行拓扑排序，只需要遵循两个原则：

在图中选择一个没有前驱的顶点 V；

从图中删除顶点 V 和所有以该顶点为尾的弧

上面左图拓扑排序如下：

对于此图来说，拓扑排序有两种：

1.V1 -> V2 -> V3 -> V4

2.V1 -> V3 -> V2 -> V4

如果顶点之间只是具有偏序关系，那么拓扑排序的结果肯定不唯一；如果顶点之间是全序关系，那么拓扑排序得到的序列唯一

有向无环图如果顶点本身具有某种实际意义，例如用有向无环图表示大学期间所学习的全部课程，每个顶点都表示一门课程，有向边表示课程学习的先后次序，例如要先学《程序设计基础》和《离散数学》，然后才能学习《数据结构》。所以用来表示某种活动间的优先关系的有向图简称为“AOV 网”。

3.拓扑排序C语言完整代码实现

在编写程序解决拓扑排序的问题时，大致思路为：首先通过邻接表将 AOV 网进行存储，由于拓扑排序的整个过程中，都是以顶 点的入度为依据进行排序，所以需要根据建立的邻接表统计出各顶点的入度。 在得到各顶点的入度后，首先找到入度为 0 的顶点作为拓扑排序的起始点，然后查找以该顶点为起始点的所有顶点，如果入度 为 1，说明如果删除前一个顶点后，该顶点的入度为 0，为拓扑排序的下一个对象

#include

#include

#define MAX_VERTEX_NUM 20//最大顶点个数

#define VertexType int//顶点数据的类型

typedef enum{false,true} bool;

typedef struct ArcNode{

int adjvex;//邻接点在数组中的位置下标

struct ArcNode * nextarc;//指向下一个邻接点的指针

}ArcNode;

typedef struct VNode{

VertexType data;//顶点的数据域

ArcNode * firstarc;//指向邻接点的指针

}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];//存储各链表头结点的数组

typedef struct {

AdjList vertices;//图中顶点及各邻接点数组

int vexnum,arcnum;//记录图中顶点数和边或弧数

}ALGraph;

//找到顶点对应在邻接表数组中的位置下标

int LocateVex(ALGraph G,VertexType u){

for (int i=0; i

if (G.vertices[i].data==u) {

return i;

}

}return -1;

}

//创建 AOV 网，构建邻接表

void CreateAOV(ALGraph **G){

*G=(ALGraph*)malloc(sizeof(ALGraph));

scanf("%d,%d",&((*G)->vexnum),&((*G)->arcnum));

for (int i=0; ivexnum; i++) {

scanf("%d",&((*G)->vertices[i].data));

(*G)->vertices[i].firstarc=NULL;

}

VertexType initial,end;

for (int i=0; iarcnum; i++) {

scanf("%d,%d",&initial,&end);

ArcNode *p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));

p->adjvex=LocateVex(*(*G), end);

p->nextarc=NULL;

int locate=LocateVex(*(*G), initial);

p->nextarc=(*G)->vertices[locate].firstarc;

(*G)->vertices[locate].firstarc=p;

}

}

//结构体定义栈结构

typedef struct stack{

VertexType data;

struct stack * next;

}stack;

//初始化栈结构

void initStack(stack* *S){

(*S)=(stack*)malloc(sizeof(stack));

(*S)->next=NULL;

}

//判断链表是否为空

bool StackEmpty(stack S){

if (S.next==NULL) { return true;

}return false;

}

//进栈，以头插法将新结点插入到链表中

void push(stack *S,VertexType u){

stack *p=(stack*)malloc(sizeof(stack));

p->data=u;

p->next=NULL;

p->next=S->next;

S->next=p;

}

//弹栈函数，删除链表首元结点的同时，释放该空间，并将该结点中的数据域通过地址传值给变量 i; void pop(stack *S,VertexType *i){

stack *p=S->next;

*i=p->data;

S->next=S->next->next;

free(p);

}

//统计各顶点的入度

void FindInDegree(ALGraph G,int indegree[]){

//初始化数组，默认初始值全部为 0

for (int i=0; i

indegree[i]=0;

}

//遍历邻接表，根据各链表中结点的数据域存储的各顶点位置下标，在 indegree 数组相应位置+1

for (int i=0; i

ArcNode *p=G.vertices[i].firstarc;

while (p) {

indegree[p->adjvex]++;

p=p->nextarc;

}

}

}

void TopologicalSort(ALGraph G){

int indegree[G.vexnum];//创建记录各顶点入度的数组

FindInDegree(G,indegree);//统计各顶点的入度

//建立栈结构，程序中使用的是链表

stack *S;

initStack(&S);

//查找度为 0 的顶点，作为起始点

for (int i=0; i

if (!indegree[i]) {

push(S, i);

}

}

int count=0;

//当栈为空，说明排序完成

while (!StackEmpty(*S)) {

int index;

//弹栈，并记录栈中保存的顶点所在邻接表数组中的位置

pop(S,&index);

printf("%d",G.vertices[index].data);

++count;

//依次查找跟该顶点相链接的顶点，如果初始入度为 1，当删除前一个顶点后，该顶点入度为 0

for (ArcNode *p=G.vertices[index].firstarc; p; p=p->nextarc) {

VertexType k=p->adjvex;

if (!(--indegree[k])) {

//顶点入度为 0，入栈

push(S, k);

}

}

}

//如果 count 值小于顶点数量，表明该有向图有环

if (count

printf("该图有回路"); return;

}

}

int main(){

ALGraph *G;

CreateAOV(&G);//创建 AOV 网

TopologicalSort(*G);//进行拓扑排序

return 0;

}

对于下面例子

进行拓扑排序：

//输入

6,8

1

2

3

4

5

6

1,2

1,4

1,3

3,2

3,5

4,5

6,4

6,5

//输出

6 1 4 3 2 5

4.拓扑排序小结

对于含有n个顶点和e条边的有向图而言，建立求各个顶点的入度的时间复杂度为O(e);建立0入度顶点栈的时间复杂度为O(n),在拓扑排序中若有向图无环，则每个顶点进一次栈出一次栈，所以总的时间复杂度为O(n+e)

来源：oschina

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